Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}} = 3\cot x + \sqrt 3 \) là

Câu hỏi số 434746:

Nhận biết

A. \( - \dfrac{\pi }{6}.\)

B. \( - \dfrac{{5\pi }}{6}.\)

C. \( - \dfrac{\pi }{2}.\)

D. \( - \dfrac{{2\pi }}{3}.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:434746

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\).

- Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Giải bất phương trình \(x < 0\), tìm số nguyên \(k\) lớn nhất thỏa mãn, từ đó tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình.

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}} = 3\cot x + \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = 3\cot x + \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt 3 {\cot ^2}x - 3\cot x = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \cot x\left( {\cot x - \sqrt 3 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = 0\\\cot x = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).

Cho \(x < 0 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} + k\pi < 0 \Leftrightarrow k < - \dfrac{1}{2}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow {k_{\max }} = - 1\) \( \Rightarrow \) Nghiệm âm lớn nhất là \(x = \dfrac{\pi }{2} - \pi = - \dfrac{\pi }{2}\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \).

Cho \(x < 0 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{6} + k\pi < 0 \Leftrightarrow k < - \dfrac{1}{6}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow {k_{\max }} = - 1\) \( \Rightarrow \) Nghiệm âm lớn nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6} - \pi = - \dfrac{{5\pi }}{6}\).

Ta có: \( - \dfrac{\pi }{2} > - \dfrac{{5\pi }}{6}\).

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(x = - \dfrac{\pi }{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.