Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}} = 3\cot x + \sqrt 3 \) là

Câu 434746: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}} = 3\cot x + \sqrt 3 \) là

A. \( - \dfrac{\pi }{6}.\)

B. \( - \dfrac{{5\pi }}{6}.\)

C. \( - \dfrac{\pi }{2}.\)

D. \( - \dfrac{{2\pi }}{3}.\)

Câu hỏi : 434746

Quảng cáo

Phương pháp giải:

- Tìm ĐKXĐ của phương trình.

- Sử dụng công thức \(\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}} = 1 + {\cot ^2}x\).

- Giải phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác.

- Giải bất phương trình \(x < 0\), tìm số nguyên \(k\) lớn nhất thỏa mãn, từ đó tìm nghiệm âm lớn nhất của phương trình.

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
ĐKXĐ: \(\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\dfrac{{\sqrt 3 }}{{{{\sin }^2}x}} = 3\cot x + \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \left( {1 + {{\cot }^2}x} \right) = 3\cot x + \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow \sqrt 3 {\cot ^2}x - 3\cot x = 0\\ \Leftrightarrow \sqrt 3 \cot x\left( {\cot x - \sqrt 3 } \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = 0\\\cot x = \sqrt 3 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \\x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\)

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{2} + k\pi \).

Cho \(x < 0 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{2} + k\pi < 0 \Leftrightarrow k < - \dfrac{1}{2}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow {k_{\max }} = - 1\) \( \Rightarrow \) Nghiệm âm lớn nhất là \(x = \dfrac{\pi }{2} - \pi = - \dfrac{\pi }{2}\).

+ Xét họ nghiệm \(x = \dfrac{\pi }{6} + k\pi \).

Cho \(x < 0 \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{6} + k\pi < 0 \Leftrightarrow k < - \dfrac{1}{6}\).

Mà \(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow {k_{\max }} = - 1\) \( \Rightarrow \) Nghiệm âm lớn nhất là \(x = \dfrac{\pi }{6} - \pi = - \dfrac{{5\pi }}{6}\).

Ta có: \( - \dfrac{\pi }{2} > - \dfrac{{5\pi }}{6}\).

Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \(x = - \dfrac{\pi }{2}\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.