Xét các hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu có bán kính bằng 1, thể tích nhỏ nhất
Xét các hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu có bán kính bằng 1, thể tích nhỏ nhất của các hình chóp đó là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Đặt \(AB = x\), \(SO = h\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Tia phân giác của \(\angle SMO\) cắt \(SO\) tại \(I\), khi đó ta có \(I\) là tâm mặt cầu nội tiếp chóp \(S.ABCD\). Khi đó ta có \(IO = 1\).
Áp dụng định lí đường phân giác ta có: \(\dfrac{{IS}}{{IO}} = \dfrac{{SM}}{{OM}} \Rightarrow \dfrac{{h - 1}}{1} = \dfrac{{\sqrt {{h^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} }}{{\dfrac{x}{2}}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{x}{2}\left( {h - 1} \right) = \sqrt {{h^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} \\ \Leftrightarrow x\left( {h - 1} \right) = \sqrt {4{h^2} + {x^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {h - 1} \right)^2} = 4{h^2} + {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{h^2} - 2h} \right) = 4{h^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{4h}}{{h - 2}}\end{array}\)
Ta có: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}h.{x^2} = \dfrac{1}{3}h.\dfrac{{4h}}{{h - 2}} = \dfrac{4}{3}\dfrac{{{h^2}}}{{h - 2}}\).
Ta có \(x > 0 \Rightarrow \dfrac{{4h}}{{h - 2}} > 0 \Leftrightarrow h > 2\).
Xét hàm số \(f\left( h \right) = \dfrac{{{h^2}}}{{h - 2}}\) với \(h > 2\) ta có:
\(f'\left( h \right) = \dfrac{{2h\left( {h - 2} \right) - {h^2}}}{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{h^2} - 4h}}{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}}}\); \(f'\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow {h^2} - 4h = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\\h = 4\end{array} \right.\).
BBT:
Từ BBT \( \Rightarrow \mathop {min}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} f\left( h \right) = 8 \Rightarrow \min {V_{S.ABCD}} = \dfrac{4}{3}.8 = \dfrac{{32}}{3}\).
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
