Xét các hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu có bán kính bằng 1, thể tích nhỏ nhất
Xét các hình chóp tứ giác đều ngoại tiếp hình cầu có bán kính bằng 1, thể tích nhỏ nhất của các hình chóp đó là
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\). Đặt \(AB = x\), \(SO = h\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(CD\). Tia phân giác của \(\angle SMO\) cắt \(SO\) tại \(I\), khi đó ta có \(I\) là tâm mặt cầu nội tiếp chóp \(S.ABCD\). Khi đó ta có \(IO = 1\).
Áp dụng định lí đường phân giác ta có: \(\dfrac{{IS}}{{IO}} = \dfrac{{SM}}{{OM}} \Rightarrow \dfrac{{h - 1}}{1} = \dfrac{{\sqrt {{h^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} }}{{\dfrac{x}{2}}}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{x}{2}\left( {h - 1} \right) = \sqrt {{h^2} + \dfrac{{{x^2}}}{4}} \\ \Leftrightarrow x\left( {h - 1} \right) = \sqrt {4{h^2} + {x^2}} \\ \Leftrightarrow {x^2}{\left( {h - 1} \right)^2} = 4{h^2} + {x^2}\\ \Leftrightarrow {x^2}\left( {{h^2} - 2h} \right) = 4{h^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{{4h}}{{h - 2}}\end{array}\)
Ta có: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}h.{x^2} = \dfrac{1}{3}h.\dfrac{{4h}}{{h - 2}} = \dfrac{4}{3}\dfrac{{{h^2}}}{{h - 2}}\).
Ta có \(x > 0 \Rightarrow \dfrac{{4h}}{{h - 2}} > 0 \Leftrightarrow h > 2\).
Xét hàm số \(f\left( h \right) = \dfrac{{{h^2}}}{{h - 2}}\) với \(h > 2\) ta có:
\(f'\left( h \right) = \dfrac{{2h\left( {h - 2} \right) - {h^2}}}{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{{h^2} - 4h}}{{{{\left( {h - 2} \right)}^2}}}\); \(f'\left( h \right) = 0 \Leftrightarrow {h^2} - 4h = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}h = 0\\h = 4\end{array} \right.\).
BBT:
Từ BBT \( \Rightarrow \mathop {min}\limits_{\left( {2; + \infty } \right)} f\left( h \right) = 8 \Rightarrow \min {V_{S.ABCD}} = \dfrac{4}{3}.8 = \dfrac{{32}}{3}\).
Chọn D.
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
