Cho biểu thức \(f\left( k \right) = {\left( {{k^2} + 3k + 2} \right)^{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + k\pi }

Câu hỏi số 438777:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(f\left( k \right) = {\left( {{k^2} + 3k + 2} \right)^{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)}}\) với \(k\) là tham số nguyên. Tổng tất cả các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {\log f\left( 1 \right) + \log f\left( 2 \right) + ... + \log f\left( n \right)} \right| = 1\) bằng

A. \(20\).

B. \(3\).

C. \(21\).

D. \(19\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:438777

Phương pháp giải

Sử dụng công thức: \({\log _a}{x^m} = m{\log _a}x\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,x > 0} \right)\).

Giải chi tiết

Ta có \(f\left( k \right) = {\left( {{k^2} + 3k + 2} \right)^{\sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right)}}\)

\( \Rightarrow \log f\left( k \right) = \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + k\pi } \right).\log \left| {\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)} \right|\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {\log f\left( 1 \right) + \log f\left( 2 \right) + ... + \log f\left( n \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - \log 2.3 + \log 3.4 - \log 4.5 + ... + \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + n\pi } \right).\log \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - \log 2 - \log 3 + \log 3 + \log 4 - \log 4 - \log 5 + .... + \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + n\pi } \right).\log \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left| { - \log 2 + \sin \left( {\dfrac{\pi }{2} + n\pi } \right).\log \left( {n + 2} \right)} \right| = 1\end{array}\)

TH1: \(n\) chẵn

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| { - \log 2 + \log \left( {n + 2} \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \log 2 + \log \left( {n + 2} \right) = 1\\ - \log 2 + \log \left( {n + 2} \right) = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {n + 2} \right) = \log 20\\\log \left( {n + 2} \right) = \log \dfrac{1}{5}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n + 2 = 20\\n + 2 = \dfrac{1}{5}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 18\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\\n = - \dfrac{9}{5}\,\,\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

TH2: \(n\) lẻ

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left| { - \log 2 - \log \left( {n + 2} \right)} \right| = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - \log 2 - \log \left( {n + 2} \right) = 1\\ - \log 2 - \log \left( {n + 2} \right) = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\log \left( {n + 2} \right) = - \log 20 = \log \dfrac{1}{{20}}\\\log \left( {n + 2} \right) = \log 5\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n + 2 = \dfrac{1}{{20}}\\n + 2 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - \dfrac{{39}}{{20}}\,\,\,\left( {KTM} \right)\\n = 3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tổng tất cả các số nguyên dương \(n\) thỏa mãn điều kiện là \(3 + 18 = 21\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.