Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1}

Câu hỏi số 440853:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị nguyên dương của \(m\) để hàm số \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right)x + 2\) đồng biến trên khoảng \(\left( {2; + \infty } \right).\) Số phần tử của \(S\) bằng:

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:440853

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( {a;\;b} \right) \Leftrightarrow f'\left( x \right) \ge 0\;\;\forall x \in \left( {a;\;b} \right).\)

Giải chi tiết

Xét hàm số: \(y = {x^3} - 3\left( {2m + 1} \right){x^2} + \left( {12m + 5} \right) + 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow y' = 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5\\ \Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6\left( {2m + 1} \right)x + 12m + 5 = 0\,\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)

TH1: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \Leftrightarrow \Delta ' \le 0\\ \Leftrightarrow 9{\left( {2m + 1} \right)^2} - 3\left( {12m + 5} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 9\left( {4{m^2} + 4m + 1} \right) - 36m - 15 \le 0\\ \Leftrightarrow 36{m^2} - 6 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} \le \dfrac{1}{6}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6} \le m \le \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array}\)

TH2: Hàm số đã cho đồng biến trên \(\left( {2; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}\) thỏa mãn \(2 \le {x_1} < {x_2}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' > 0\\\left( {{x_1} - 2} \right)\left( {{x_1} - 2} \right) \ge 0\\{x_1} + {x_2} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}36{m^2} - 6 > 0\\{x_1}{x_2} - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 4 \ge 0\\{x_1} + {x_2} > 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} > \dfrac{1}{6}\\\dfrac{{12m + 5}}{3} - 2.\dfrac{{6\left( {2m + 1} \right)}}{3} + 4 \ge 0\\\dfrac{{6\left( {2m + 1} \right)}}{3} > 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\m < - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\\12m + 5 - 24m - 2 + 12 \ge 0\\4m + 2 > 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\m < - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\\ - 12m \ge - 15\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\m < - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\\m \le \dfrac{5}{4}\\m > \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} < m \le \dfrac{5}{4}\end{array}\)

Kết hợp hai trường hợp ta được: \(\left[ \begin{array}{l} - \dfrac{{\sqrt 6 }}{6} \le m \le \dfrac{{\sqrt 6 }}{6}\\\dfrac{1}{2} < m \le \dfrac{5}{4}\end{array} \right.\)

Lại có: \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\) \( \Rightarrow m = 1.\)

Vậy có \(1\) giá trị \(m\) thỏa mãn bài toán.

Chọn A.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.