Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Gọi
Cho hình chóp đều \(S.ABC\) có độ dài cạnh đáy bằng \(a\), cạnh bên bằng \(a\sqrt 3 \). Gọi \(O\) là tâm của đáy \(ABC\), \({d_1}\) là khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) và \({d_2}\) là khoảng cách từ \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Tính \(d = {d_1} + {d_2}\).
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), xác định \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).
- Sử dụng định lí Pytago và công thức diện tích tam giác, tính \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).
- Sử dụng công thức: \(AO \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ M \right\} \Rightarrow \dfrac{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{OM}}{{AM}}\), so sánh \(d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)\) và \(d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)\).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right)\).
Trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AH \bot SM\\AH \bot BC\,\,\left( {AH \subset \left( {SAM} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\).
\( \Rightarrow {d_1} = d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = AH\).
Vì \(\Delta ABC\) đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AO = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SAO\) có: \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{{a^3}}}{3}} = \dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(SBM\) có: \(SM = \sqrt {S{B^2} - B{M^2}} = \sqrt {3{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} = \dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}\).
Ta có: \({S_{\Delta SAM}} = \dfrac{1}{2}SO.AM = \dfrac{1}{2}AH.SM\) \( \Rightarrow AH = \dfrac{{SO.AM}}{{SM}} = \dfrac{{\dfrac{{2a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt {11} }}{2}}} = \dfrac{{2a\sqrt {22} }}{{11}}\).
\( \Rightarrow {d_1} = \dfrac{{2a\sqrt {22} }}{{11}}\).
Ta có: \(AO \cap \left( {SBC} \right) = \left\{ M \right\} \Rightarrow \dfrac{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{OM}}{{AM}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{1}{3}d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {22} }}{{33}}\).
\( \Rightarrow {d_2} = \dfrac{{2a\sqrt {22} }}{{33}}\).
Vậy \(d = {d_1} + {d_2} = \dfrac{{2a\sqrt {22} }}{{11}} + \dfrac{{2a\sqrt {22} }}{{33}} = \dfrac{{8a\sqrt {22} }}{{33}}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
