Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(BC = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\)

Câu hỏi số 440860:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có cạnh \(BC = 2a\), góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) và \(\left( {A'BC} \right)\) bằng \({60^0}\). Biết diện tích tam giác \(A'BC\) bằng \(2{a^2}\). Tính thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\).

A. \(V = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(V = 3{a^3}\)

C. \(V = {a^3}\sqrt 3 \)

D. \(V = \dfrac{{2{a^3}}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:440860

Phương pháp giải

- Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AM \bot BC\,\,\left( {M \in BC} \right)\), xác định góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao \(AA'\).

- Vì \(\Delta ABC\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta A'BC\), sử dụng công thức \({S_{ABC}} = {S_{A'BC}}.\cos \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)\).

- Tính thể tích khối lăng trụ \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(AM \bot BC\,\,\left( {M \in BC} \right)\) ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot AA'\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {AA'M} \right)\) \( \Rightarrow A'M \bot BC\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {A'BC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\A'M \subset \left( {A'BC} \right);\,\,A'M \bot BC\\AM \subset \left( {ABC} \right);\,\,AM \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {A'BC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {A'M;AM} \right) = \angle A'MA = {60^0}\).

Ta có \({S_{A'BC}} = \dfrac{1}{2}A'M.BC = 2{a^3}\) \( \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}A'M.2a = 2{a^2} \Leftrightarrow A'M = 2a\).

Xét tam giác vuông \(AA'M\) ta có: \(AA' = A'M.\sin {60^0} = 2a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = a\sqrt 3 \).

Vì \(\Delta ABC\) là hình chiếu vuông góc của \(\Delta A'BC\) nên ta có: \({S_{ABC}} = {S_{A'BC}}.\cos \angle A'MA = 2{a^2}.\dfrac{1}{2} = {a^2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = AA'.{S_{ABC}} = a\sqrt 3 .{a^2} = {a^3}\sqrt 3 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.