Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA = a\sqrt 6 \) và \(SA\) vuông góc với mặt

Câu hỏi số 444538:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông, \(SA = a\sqrt 6 \) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\), góc giữa \(SC\) và mặt phẳng \((ABCD)\) bằng \({60^{\rm{O}}}.\) Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) bằng

A. \(4a\sqrt 2 .\)

B. \(8a\sqrt 2 .\)

C. \(a\sqrt 2 .\)

D. \(2a\sqrt 2 .\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444538

Phương pháp giải

- Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp là điểm cách đều tất cả các đỉnh của khối chóp.

- Xác định góc giữa \(SC\) và \(\left( {ABCD} \right)\) là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\).

- Tính toán bán kính mặt cầu ngoại tiếp dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Giải chi tiết

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot SA\\BC \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB\) hay \(\widehat {SBC} = {90^0}\)

Lại có \(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot SA\\CD \bot AD\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SAD} \right) \Rightarrow CD \bot SD\) hay \(\widehat {SDC} = {90^0}\)

Vì \(SA \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SA \bot AC\) hay \(\widehat {SAC} = {90^0}\)

Từ đó ba đỉnh \(A,B,D\) cùng nhìn cạnh \(SC\) dưới một góc vuông \(A,\,\,B,\,\,D\) thuộc mặt cầu đường kính \(SC\), do đó trung điểm \(I\) của \(SC\) cách đều 5 điểm \(S,\,\,A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\).

Suy ra \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là \(R = \frac{{SC}}{2}\)

Ta có \(AC\) là hình chiếu của \(SC\) lên \(\left( {ABCD} \right)\) nên \(\angle \left( {SC;\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SC;AC} \right) = \angle SCA = {60^0}\).

Xét tam giác \(SAC\) vuông tại \(A\) có \(SC = \frac{{SA}}{{\sin \angle SCA}} = \frac{{a\sqrt 6 }}{{\sin {{60}^0}}}\)\( = a\sqrt 6 :\frac{{\sqrt 3 }}{2} = 2a\sqrt 2 .\)

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là \(R = \frac{{SC}}{2} = a\sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.