Tất cả giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\) đạt cực

Câu hỏi số 444537:

Vận dụng

Tất cả giá trị của tham số \(m\) sao cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 2\) là

A. \(m = - 1;\,m = - 3.\)

B. \(m = - 3.\)

C. \(m = - 1.\)

D. \(m = 1;\,m = 3.\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:444537

Phương pháp giải

Hàm số \(y = f\left( x \right)\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = {x_0}\) khi và chỉ khi hàm số liên tục tại \({x_0}\) và \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) > 0\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - m} \right\}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}y' = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + m} \right) - \left( {{x^2} + mx + 1} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{2{x^2} + 2mx + mx + {m^2} - {x^2} - mx - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\\,\,\,\,\,\, = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\end{array}\)

Điều kiện cần để hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\) là:

\(y'\left( 2 \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \frac{{{2^2} + 2m.2 + {m^2} - 1}}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4m + 3 = 0\\m \ne - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = - 1\\m = - 3\end{array} \right.\)

Với \(m = - 3\) ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 6x + 8}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = 4\end{array} \right.\).

Lại có

\(\begin{array}{l}y'' = \frac{{\left( {2x - 6} \right){{\left( {x - 3} \right)}^2} - 2\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {2x - 6} \right)\left( {x - 3} \right) - 2\left( {{x^2} - 6x + 8} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{{{{\left( {x - 3} \right)}^3}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow y''\left( 2 \right) = - 2 < 0\) nên \(x = 2\) là điểm cực đại của hàm số. Hay \(m = - 3\) không thỏa mãn.

Với \(m = - 1\) ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Lại có

\(\begin{array}{l}y'' = \frac{{\left( {2x - 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{{\left( {2x - 2} \right)\left( {x - 1} \right) - 2\left( {{x^2} - 2x} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\\\,\,\,\,\,\,\, = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\end{array}\)

\( \Rightarrow y''\left( 2 \right) = 2 > 0\) nên \(x = 2\) là điểm cực tiểu của hàm số (thỏa mãn).

Vậy \(m = - 1\) thỏa mãn đề bài.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.