Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11.\) Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển

Câu hỏi số 449956:

Thông hiểu

Cho số tự nhiên \(n\) thỏa mãn \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11.\) Số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển của \({\left( {{x^3} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^n}\) bằng:

A. \( - 4\)

B. \(9{x^2}\)

C. \( - 4{x^7}\)

D. \( - 12{x^7}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:449956

Phương pháp giải

- Sử dụng công thức \(C_n^k = \dfrac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}}\), giải phương trình \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11\) tìm \(n\).

- Sử dụng khai triển nhị thức Niu-tơn \({\left( {a + b} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \).

- Để tìm số hạng chứa \({x^7}\) ta cho số mũ của \(x\) trong khai triển bằng \(7\), giải phương trình tìm \(k\). Với \(k\) vừa tìm được ta suy ra số hạng chứa \({x^7}\).

Giải chi tiết

Ta có: \(C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 = 11\,\,\,\left( {n \ge 2,\,\,n \in \mathbb{N}} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + n + \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 11\\ \Leftrightarrow 2 + 2n + {n^2} - n = 22\\ \Leftrightarrow {n^2} + n - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 4\,\,\,\,\,\,\left( {tm} \right)\\n = - 5\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Khi đó ta có \({\left( {{x^3} - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)^4} = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{4 - k}}{{\left( { - \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right)}^k}} \) \( = \sum\limits_{k = 0}^4 {C_4^k{{\left( { - 1} \right)}^k}{x^{12 - 5k}}} \,\,\left( {0 \le k \le 4;\,\,k \in \mathbb{N}} \right)\).

Để tìm số hạng chứa \({x^7}\) ta cho \(12 - 5k = 7 \Leftrightarrow k = 1\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy số hạng chứa \({x^7}\) trong khai triển trên là \(C_4^1.{\left( { - 1} \right)^1}{x^7} = - 4{x^7}\).

Chú ý khi giải

Phân biệt số hạng chứa \({x^7}\) và hệ số của số hạng chứa \({x^7}\). Ở bài toán này, nếu hỏi hệ số của số hạng chứa \({x^7}\) thì ta chọn đáp án A.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.