Cho tứ diện đều \(ABCD,\) \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó \(\cos \) của góc giữa hai
Cho tứ diện đều \(ABCD,\) \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó \(\cos \) của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}.\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng định lí Cô-sin trong tam giác.
Ta có \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \Leftrightarrow \alpha > {60^0}\).
Xét đáp án A: \(\angle \left( {AB;AM} \right) = \angle BAM\).
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM\) là phân giác của \(\angle BAC\) \( \Rightarrow \angle BAM = {30^0}\).
Do đó loại đáp án A.
Xét đáp án B và C: Giả sử \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh 1.
Xét tam giác \(AMD\) có \(AM = DM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \(AMD\) có:
\(\cos \angle AMD = \dfrac{{A{M^2} + M{D^2} - A{D^2}}}{{2AM.MD}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} - 1}}{{2.\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow \cos \left( {AM;DM} \right) = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow \) Loại đáp án B.
\(\cos \angle ADM = \dfrac{{A{D^2} + M{D^2} - A{M^2}}}{{2AD.MD}}\)\( = \dfrac{{1 + \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{4}}}{{2.1.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow \cos \left( {AD;DM} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow \) Loại đáp án B.
Xét đáp án D: Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\).
Ta có \(MN//AB \Rightarrow \angle \left( {AB;DM} \right) = \angle \left( {MN;DM} \right)\).
Ta có \(MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2};\,\,DM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,DM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \(DMN\) có:
\(\cos \angle DMN = \dfrac{{D{M^2} + M{N^2} - D{N^2}}}{{2DM.MN}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4}}}{{2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\) \( \Rightarrow \cos \left( {AB;DM} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\) (thỏa mãn).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
