Cho tứ diện đều \(ABCD,\) \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó \(\cos \) của góc giữa hai
Cho tứ diện đều \(ABCD,\) \(M\) là trung điểm của \(BC.\) Khi đó \(\cos \) của góc giữa hai đường thẳng nào sau đây có giá trị bằng \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{6}.\)
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Sử dụng định lí Cô-sin trong tam giác.
Ta có \(\cos \alpha = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6} \Leftrightarrow \alpha > {60^0}\).
Xét đáp án A: \(\angle \left( {AB;AM} \right) = \angle BAM\).
Vì \(\Delta ABC\) đều nên \(AM\) là phân giác của \(\angle BAC\) \( \Rightarrow \angle BAM = {30^0}\).
Do đó loại đáp án A.
Xét đáp án B và C: Giả sử \(ABCD\) là tứ diện đều cạnh 1.
Xét tam giác \(AMD\) có \(AM = DM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \(AMD\) có:
\(\cos \angle AMD = \dfrac{{A{M^2} + M{D^2} - A{D^2}}}{{2AM.MD}}\)\( = \dfrac{{\dfrac{3}{4} + \dfrac{3}{4} - 1}}{{2.\dfrac{3}{4}}} = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow \cos \left( {AM;DM} \right) = \dfrac{1}{3}\) \( \Rightarrow \) Loại đáp án B.
\(\cos \angle ADM = \dfrac{{A{D^2} + M{D^2} - A{M^2}}}{{2AD.MD}}\)\( = \dfrac{{1 + \dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{4}}}{{2.1.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow \cos \left( {AD;DM} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( \Rightarrow \) Loại đáp án B.
Xét đáp án D: Gọi \(N\) là trung điểm của \(AC\).
Ta có \(MN//AB \Rightarrow \angle \left( {AB;DM} \right) = \angle \left( {MN;DM} \right)\).
Ta có \(MN = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2};\,\,DM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2};\,\,DM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Áp dụng định lí Cô-sin trong tam giác \(DMN\) có:
\(\cos \angle DMN = \dfrac{{D{M^2} + M{N^2} - D{N^2}}}{{2DM.MN}}\) \( = \dfrac{{\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{4}}}{{2.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\) \( \Rightarrow \cos \left( {AB;DM} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\) (thỏa mãn).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
