Số các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x

Câu hỏi số 450563:

Vận dụng cao

Số các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số \(f\left( x \right)=x{}^\text{2}+\left( 2m+1 \right)x+m{}^\text{2}-1\) trên đoạn [0;1] bằng 1 là

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(0\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:450563

Phương pháp giải

Xác định đỉnh hàm số và xét trường hợp xác định vị trí hàm số đạt giá trị nhỏ nhất

Giải chi tiết

Ta có

\(\begin{array}{l} + )\,\, - \dfrac{b}{{2a}} = - \dfrac{{\left( {2m + 1} \right)}}{2} = \dfrac{{ - 2m - 1}}{2}\\ + )\,\,\,\Delta = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4{m^2} + 4m + 1 - 4{m^2} + 4\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 4m + 5\\\dfrac{{ - \Delta }}{{4a}} = \dfrac{{ - 4m - 5}}{4}\end{array}\)

Vậy đồ thị hàm số có đỉnh \(I\left( {\dfrac{{ - 2m - 1}}{2};\dfrac{{ - 4m - 5}}{4}} \right)\)

Vì \(a > 0\) nên đồ thị hàm số là parabol có bề lõm hướng lên trên và có điểm thấp nhất là đỉnh \(I\left( {\dfrac{{ - 2m - 1}}{2};\dfrac{{ - 4m - 5}}{4}} \right)\)

+) TH1

\(\begin{array}{l}\dfrac{{ - b}}{{2a}} \in \left[ {0;1} \right] \Leftrightarrow 0 \le \dfrac{{ - 2m - 1}}{2} \le 1\\ & \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 0 \le - 2m - 1 \le 2\\ & \,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 1 \le - 2m \le 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \dfrac{{ - 1}}{2} \ge m \ge \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array}\)

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = \dfrac{{ - \Delta }}{{4a}}\)\( = \dfrac{{ - 4m - 5}}{4} = 1\)

\( \Leftrightarrow - 4m - 5 = 4\)\( \Leftrightarrow m = \dfrac{{ - 9}}{4}\)\( \Leftrightarrow - 4m = 9\) (loại)

+) TH2: \(\dfrac{{ - b}}{{2a}} < 0 \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2m - 1}}{2} < 0\)\( \Leftrightarrow m > \dfrac{{ - 1}}{2}\)

Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f(0)\)\( = {m^2} - 1 = 1\) \( \Leftrightarrow {m^2} = 2\)\( \Rightarrow m = \pm \sqrt 2 \)

Kết hợp với điều kiện \( \Rightarrow m = \sqrt 2 \)

+) TH3: \(\dfrac{{ - b}}{{2a}} > 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{ - 2m - 1}}{2} > 1\\ \Leftrightarrow - 2m - 1 > 2\\ \Leftrightarrow - 2m > 3\\ \Leftrightarrow m < \dfrac{{ - 3}}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;1} \right]} f\left( x \right) = f(1) = 1 + \left( {2m + 1} \right) + {m^2} - 1 = {m^2} + 2m + 1 = 1\\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 0\\m = - 2\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện \(m = - 2\)

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.