Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh là \(BC = a,\,\,AC = b,\)\(AB = c\). Gọi

Câu hỏi số 451564:

Thông hiểu

Cho tam giác \(ABC\) có độ dài ba cạnh là \(BC = a,\,\,AC = b,\)\(AB = c\). Gọi \({m_a},\,\,{m_b},\,\,{m_c}\) lần lượt là các chiều dài các đường trung tuyến kẻ từ các đỉnh \(A,\,\,B,\,\,C\). Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

(1) \(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{4}\)

(2) \(\cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\)

(3) \(m_a^2 + m_b^2 + m_c^2\)\( = \dfrac{{{a^2} + {b^2} + {c^2}}}{3}\)

A. \(0\)

B. \(1\)

C. \(2\)

D. \(3\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:451564

Phương pháp giải

Tam giác \(ABC\) có \(AB = c,\,\,AC = b,\)\(BC = a\).

+ Áp dụng định lý sin: \(\dfrac{a}{{\sin A}} = \dfrac{b}{{\sin B}}\)\( = \dfrac{c}{{\sin C}} = 2R\)

+ Định lý đường trung tuyến: \(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{a{}^2}}{4}\)

Giải chi tiết

Ta có:

+) Định lí đường trung tuyến trong tam giác:

\(m_a^2 = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}\)\( \Rightarrow m_a^2 = \dfrac{{2{b^2} + 2{c^2} - {a^2}}}{4}\).

Vậy mệnh đề \(\left( 1 \right)\) sai.

+) Định lí cosin trong tam giác:

\({c^2} = {a^2} + {b^2} - 2ab\cos C\)\( \Rightarrow \cos C = \dfrac{{{a^2} + {b^2} - {c^2}}}{{2ab}}\).

Vậy mệnh đề \(\left( 2 \right)\) đúng.

+) Định lí đường trung tuyến trong tam giác:

\(\begin{array}{l}m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \left( {\dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4}} \right) + \left( {\dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4}} \right) + \left( {\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{b^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {c^2}}}{2} - \dfrac{{{b^2}}}{4} + \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2} - \dfrac{{{c^2}}}{4}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{4}\end{array}\)

\( \Rightarrow m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \dfrac{{3\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{4}\).

Vậy mệnh đề \(\left( 3 \right)\) sai.

Vậy chỉ có một mệnh đề \(\left( 2 \right)\) đúng.

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10