Cho hai khối cầu đồng tâm có bán kính là 1 và 4. Xét hình chóp \(S.{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}\) có

Câu hỏi số 456107:

Vận dụng cao

Cho hai khối cầu đồng tâm có bán kính là 1 và 4. Xét hình chóp \(S.{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}\) có đỉnh \(S\) thuộc mặt cầu nhỏ và các đỉnh \({A_i}.\,\,i = \overline {1;6} \) thuộc mặt cầu lớn. Tìm giá trị lớn nhất của thể tích khối chóp \(S.{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}\).

A. \(24\)

B. \(18\)

C. \(24\sqrt 3 \)

D. \(18\sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:456107

Giải chi tiết

Gọi \(\left( {{S_1}} \right);\,\,\left( {{S_2}} \right)\) là hai khối cầu tâm \(O\) có bán kính lần lượt là \({R_1} = 1,\,\,{R_2} = 4\).

Giả sử \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6} \in \left( \alpha \right)\).

Kẻ \(OH \bot \left( \alpha \right)\,\,\left( {H \in \left( \alpha \right)} \right)\), gọi \({S_0} = OH \cap \left( {{S_1}} \right)\) sao cho \(d\left( {{S_0};\left( \alpha \right)} \right) > d\left( {O;\left( \alpha \right)} \right)\).

Khi đó ta có: \({V_{S.{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}}} \le {V_{{S_0}.{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}}} = \dfrac{1}{3}{S_0}H.{S_{{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}}}\).

Đặt \(OH = x\,\,\left( {0 < x < 4} \right)\) ta có \({S_0}H = x + 1\).

Áp dụng định lí Pytago ta có: \(H{A_1} = \sqrt {O{A_1}^2 - O{H^2}} = \sqrt {16 - {x^2}} \).

\( \Rightarrow {S_{{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}}}\) đạt giá trị lớn nhất khi khi và chỉ khi \({A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}\) là lục giác đều, khi đó \(\max {S_{{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}}} = \dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {16 - {x^2}} \right)\).

\( \Rightarrow {V_{S.{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}}} \le \dfrac{1}{3}\left( {x + 1} \right).\dfrac{{3\sqrt 3 }}{2}\left( {16 - {x^2}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\left( {x + 1} \right)\left( {16 - {x^2}} \right)\) .

Xét hàm số \(f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right)\left( {16 - {x^2}} \right)\) với \(0 < x < 4\) ta có \(f'\left( x \right) = 16 - {x^2} - \left( {x + 1} \right)2x = - 3{x^2} - 2x + 16\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\,\,\left( {tm} \right)\\x = - \dfrac{8}{3}\,\,\,\left( {ktm} \right)\end{array} \right.\)

BBT:

Dựa vào BBT \( \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;4} \right)} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 36\).

\( \Rightarrow {V_{S.{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}}} \le \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.36 = 18\sqrt 3 \).

Vậy giá trị lớn nhất của thể tích khối chsop \(S.{A_1}{A_2}{A_3}{A_4}{A_5}{A_6}\) là \(18\sqrt 3 \).

Chọn D.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.