Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt bên \(BB'C'C\) là hình thoi
Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt bên \(BB'C'C\) là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa \(CC'\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt {12} }}{5}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Kẻ \(B'H \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Chứng minh \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\).
- Đặt \(B'H = x\,\,\,\left( {x > 0} \right)\), tính \(BH\) theo \(x\).
- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HK//CM\,\,\left( {K \in AB} \right)\), tính \(B'K\) theo \(x\), từ đó tính \({S_{ABB'A'}}\) theo \(x\).
- Tính \({V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{3}{2}{V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{3}{2}B'K.{S_{ABB'A'}}.d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = B'H.{S_{\Delta ABC}}\). Giải phương trình tìm \(x\), từ đó tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\).
Kẻ \(B'H \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC\\B'H \subset \left( {BCC'B'} \right);\,\,B'H \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)\).
Đặt \(B'H = x\,\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow BH = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (Định lí Pytago trong tam giác vuông \(BB'H\)).
Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(CM \bot AB\) và \(CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (do \(\Delta ABC\) đều ạnh \(a\) ).
Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HK//CM\,\,\left( {K \in AB} \right)\), áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\dfrac{{HK}}{{CM}} = \dfrac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{a}\) \( \Rightarrow HK = \dfrac{{\sqrt 3 \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{2}\).
Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(B'HK\) ta có:
\(\begin{array}{l}B'{K^2} = B'{H^2} + H{K^2} = {x^2} + \dfrac{3}{4}\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = \dfrac{3}{4}{a^2} + \dfrac{1}{4}{x^2}\\ \Rightarrow B'K = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}\end{array}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot B'H\\AB \bot HK\,\,\left( {HK//CM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {B'HK} \right) \Rightarrow AB \bot B'K\).
Khi đó ta có: \({S_{ABB'A'}} = B'K.AB = \dfrac{{a\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}\)
Ta có: \(CC'//BB' \Rightarrow CC'//\left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {CC';\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {12} }}{5}\).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABB'A'}}.d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}.\dfrac{{a\sqrt {12} }}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{30}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{3}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{30}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{20}}\end{array}\)
Lại có \({V_{ABC.A'B'C'}} = B'H.{S_{\Delta ABC}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{20}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{5} = x\\ \Leftrightarrow 4\left( {3{a^2} + {x^2}} \right) = 25{x^2}\\ \Leftrightarrow 21{x^2} = 12{a^2}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}a\end{array}\)
Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\sqrt {21} {a^3}}}{{14}}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
