Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt bên \(BB'C'C\) là hình thoi

Câu hỏi số 456109:

Vận dụng cao

Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\). Mặt bên \(BB'C'C\) là hình thoi và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Khoảng cách giữa \(CC'\) và mặt phẳng \(\left( {ABB'A'} \right)\) bằng \(\dfrac{{a\sqrt {12} }}{5}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng:

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{6}\)

B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {21} }}{{14}}\)

C. \(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {21} }}{7}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:456109

Phương pháp giải

- Kẻ \(B'H \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\). Chứng minh \(B'H \bot \left( {ABC} \right)\).

- Đặt \(B'H = x\,\,\,\left( {x > 0} \right)\), tính \(BH\) theo \(x\).

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\), trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HK//CM\,\,\left( {K \in AB} \right)\), tính \(B'K\) theo \(x\), từ đó tính \({S_{ABB'A'}}\) theo \(x\).

- Tính \({V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{3}{2}{V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{3}{2}B'K.{S_{ABB'A'}}.d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = B'H.{S_{\Delta ABC}}\). Giải phương trình tìm \(x\), từ đó tính \({V_{ABC.A'B'C'}}\).

Giải chi tiết

Kẻ \(B'H \bot BC\,\,\,\left( {H \in BC} \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {BCC'B'} \right) \bot \left( {ABC} \right) = BC\\B'H \subset \left( {BCC'B'} \right);\,\,B'H \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow B'H \bot \left( {ABC} \right)\).

Đặt \(B'H = x\,\,\,\left( {x > 0} \right) \Rightarrow BH = \sqrt {{a^2} - {x^2}} \) (Định lí Pytago trong tam giác vuông \(BB'H\)).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(AB\) ta có \(CM \bot AB\) và \(CM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) (do \(\Delta ABC\) đều ạnh \(a\) ).

Trong \(\left( {ABC} \right)\) kẻ \(HK//CM\,\,\left( {K \in AB} \right)\), áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\dfrac{{HK}}{{CM}} = \dfrac{{BH}}{{BC}} \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \dfrac{{\sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{a}\) \( \Rightarrow HK = \dfrac{{\sqrt 3 \sqrt {{a^2} - {x^2}} }}{2}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(B'HK\) ta có:

\(\begin{array}{l}B'{K^2} = B'{H^2} + H{K^2} = {x^2} + \dfrac{3}{4}\left( {{a^2} - {x^2}} \right) = \dfrac{3}{4}{a^2} + \dfrac{1}{4}{x^2}\\ \Rightarrow B'K = \dfrac{{\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}\end{array}\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot B'H\\AB \bot HK\,\,\left( {HK//CM} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {B'HK} \right) \Rightarrow AB \bot B'K\).

Khi đó ta có: \({S_{ABB'A'}} = B'K.AB = \dfrac{{a\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}\)

Ta có: \(CC'//BB' \Rightarrow CC'//\left( {ABB'A'} \right) \Rightarrow d\left( {CC';\left( {ABB'A'} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right) = \dfrac{{a\sqrt {12} }}{5}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{C.ABB'A'}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABB'A'}}.d\left( {C;\left( {ABB'A'} \right)} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{2}.\dfrac{{a\sqrt {12} }}{5}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{30}} = \dfrac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\\ \Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = \dfrac{3}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{30}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{20}}\end{array}\)

Lại có \({V_{ABC.A'B'C'}} = B'H.{S_{\Delta ABC}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{{a^2}\sqrt {12} \sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{{20}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{2\sqrt {3{a^2} + {x^2}} }}{5} = x\\ \Leftrightarrow 4\left( {3{a^2} + {x^2}} \right) = 25{x^2}\\ \Leftrightarrow 21{x^2} = 12{a^2}\\ \Leftrightarrow x = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}a\end{array}\)

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = x.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{2\sqrt 7 }}{7}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{\sqrt {21} {a^3}}}{{14}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.