Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {{x^2}

Câu hỏi số 458171:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^3}\left[ {{x^2} + \left( {4m - 5} \right)x + {m^2} - 7m + 6} \right],\,\,\forall x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên m để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị?

A. \(4\).

B. \(2\).

C. \(5\).

D. \(3\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:458171

Phương pháp giải

Nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) có n điểm cực trị dương thì hàm số \(y = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có \(n + 1\) điểm cực trị.

Giải chi tiết

Để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\) có đúng 5 điểm cực trị thì hàm số \(y = f\left( x \right)\) phải có 2 điểm cực trị dương \( \Rightarrow \) Phương trình \(f'\left( x \right) = 0\) phải có 2 nghiệm bội lẻ dương phân biệt.

Xét \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\,\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,3} \right)\\{x^2} + \left( {4m - 5} \right)x + {m^2} - 7m + 6 = 0\,\,\left( * \right)\end{array} \right.\).

Do đó phương trình (*) cần phải có 1 nghiệm bội lẻ dương khác 1.

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta = {\left( {4m - 5} \right)^2} - 4\left( {{m^2} - 7m + 6} \right)\\\,\,\,\,\, = 16{m^2} - 40m + 25 - 4{m^2} + 28m - 24\\\,\,\,\,\, = 12{m^2} - 12m + 1\end{array}\)

Để (*) có 1 nghiệm bội lẻ dương khác 1 thì:

\(\left\{ \begin{array}{l}\Delta = 12{m^2} - 12m + 1 > 0\\P = {m^2} - 7m + 6 \le 0\\1 + 4m - 5 + {m^2} - 7m + 6 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m > \frac{{3 + \sqrt 6 }}{6}\\m < \frac{{3 - \sqrt 6 }}{6}\end{array} \right.\\1 \le m \le 6\\m \ne 1\\m \ne 2\end{array} \right.\) \(\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 < m \le 6\\m \ne 2\end{array} \right.\).

Vậy có 4 số nguyên m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.