Cho hình chữ nhật \(ABCD\,\,\left( {AB > AD} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Tia phân giác

Câu hỏi số 459956:

Vận dụng

Cho hình chữ nhật \(ABCD\,\,\left( {AB > AD} \right)\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\). Tia phân giác \(\angle ACD\) cắt cung nhỏ \(AD\) của đường tròn \(\left( O \right)\) tại điểm \(H\).

1) Chứng minh: Ba điểm \(A,\,\,O,\,\,C\) thẳng hàng và \(HA = HD\)

2) Dây \(HC\) của \(\left( O \right)\) cắt \(BD\) tại \(M\), dây \(HB\) của \(\left( O \right)\) cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh: Tứ giác\(MNBC\) nội tiếp và \(MN \bot OH\).

3) Dây \(HB\) của \(\left( O \right)\) cắt \(AD\) tại \(I\). Chứng minh \(IA < ID\) và \(AB.AC = BH.BI\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:459956

Phương pháp giải

1) + Dựa vào tính chất của hình chữ nhật.

+ Sử dụng định lý của góc nội tiếp và định lý liên hệ giữa cung và dây.

2) Chứng minh tứ giác nội tiếp dựa vào dấu hiệu nhận biết.

Sử dụng quan hệ từ vuông góc đến song song \(\left. \begin{array}{l}OH \bot AD\\MN\,{\rm{//}}\,AD\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow MN \bot OH\).

3) Kẻ \(IK \bot DB\) tại \(K\). Chứng minh \(IK = IA,\,\,IK < ID\)\( \Rightarrow IA < ID\).

Giải chi tiết

1) Chứng minh: Ba điểm \(A,\,\,O,\,\,C\) thẳng hàng và \(HA = HD\)

Vì hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp đường tròn tâm \(O\) nên \(O\) là tâm của hình chữ nhật \(ABCD\).

Mà \(AC,\,\,BD\) là đường chéo của hình chữ nhật \(ABCD\).

\( \Rightarrow \) \(O\) là trung điểm của đường chéo \(AC\)

\( \Rightarrow \) Ba điểm \(A,\,\,O,\,\,C\) thẳng hàng.

Xét đường tròn tâm \(O\), ta có:

\(\angle ACH = \dfrac{1}{2}sd\,\,\,cung\,\,AH\) (\(\angle ACH\) là góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(AH\))

\(\angle DCH = \dfrac{1}{2}sd\,\,\,cung\,\,DH\) (\(\angle DCH\) là góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(DH\))

Mà \(\angle ACH = \angle DCH\) (giả thiết).

\( \Rightarrow AH = DH\) (định lý liên hệ giữa cung và dây)

Hay \(HA = HD\) (đpcm)

2) Dây \(HC\) của \(\left( O \right)\) cắt \(BD\) tại \(M\), dây \(HB\) của \(\left( O \right)\) cắt \(AC\) tại \(N\). Chứng minh: Tứ giác\(MNBC\) nội tiếp và \(MN \bot OH\).

*) Chứng minh tứ giác \(MNBC\) nội tiếp

Xét đường tròn \(\left( O \right)\), ta có:

\(\angle ACH = \dfrac{1}{2}sd\,\,cung\,\,AH\) (góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(AH\))

\(\angle DBH = \dfrac{1}{2}\,sd\,\,DH\) (góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(DH\))

Mà (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \angle ACH = \angle DBH\) hay \(\angle NCM = \angle NBM\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(NBCM\) nội tiếp (Dấu hiệu nhận biết :tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau)

*) Chứng minh \(MN \bot OH\).

\(\left. \begin{array}{l}OA = OD\,\,\left( { = R} \right)\\HA = HD\,(cmt)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow OH\) là đường trung trực của \(AD\)

\( \Rightarrow OH \bot AD\) \(\left( 1 \right)\)

Xét tứ giác nội tiếp \(NBCM\), ta có :

\(\angle NMB = \angle NCB\) (góc nội tiếp bị chắn bởi cung \(NB\))

Xét \(\Delta OBC\) cân tại \(O\) (vì \(OB = OC = R\)) , ta có :

\(\angle OBC = \angle OCB\) (tính chất)

Hay \(\angle NCB = \angle MBC\)

\( \Rightarrow \angle NMB = \angle MBC\,\,\left( { = \angle NCB} \right)\)

Mà \(\angle MBC\) và \(\angle NMB\) ở vị trí so le trong nên \(MN\,{\rm{//}}\,BC\) (dấu hiệu nhận biết)

\( \Rightarrow MN\,{\rm{//}}\,AD\) \(\left( {{\rm{//}}BC} \right)\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\)và\(\left( 2 \right)\) suy ra \(MN \bot OH\) (quan hệ từ vuông góc đến song song)

3) Dây \(HB\) của \(\left( O \right)\) cắt \(AD\) tại \(I\). Chứng minh \(IA < ID\) và \(AB.AC = BH.BI\).

*) Chứng minh \(IA < ID\)

Kẻ \(IK \bot DB\) tại \(K\).

Xét \(\Delta ABI\) và \(\Delta KBI\) ta có:

\(\angle IAB = \angle IKB\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(IB\) là cạnh chung

\(\angle ABI = \angle KBI\) (góc nội tiếp bị chắn bởi hai cung bằng nhau \(HA\) và \(HD\))

\( \Rightarrow \Delta ABI = \Delta KBI\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow IA = IK\) (hai cạnh tương ứng)

Mà \(IK < ID\) (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên trong \(\Delta IKD\) vuông tại \(D\))

\( \Rightarrow IA < ID\) (đpcm)

*) Chứng minh \(AB.AC = BH.BI\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) có ta có:

\(\angle AHC = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow BH = CH\) (liên hệ giữa cung và dây)

Xét \(\Delta AIB\) và \(\Delta HAC\) ta có:

\(\angle IAB = \angle AHC\,\,\left( { = {{90}^0}} \right)\)

\(\angle IBA = \angle ACH\) (góc nội tiếp cùng chắn bởi cung \(AH\))

\( \Rightarrow \Delta AIB \sim \Delta HAC\) (góc - góc)

\( \Rightarrow \dfrac{{AB}}{{CH}} = \dfrac{{BI}}{{AC}}\) (tỷ lệ cặp cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow AB.AC = CH.BI\)

Mà \(BH = CH\)(chứng minh trên)

\( \Rightarrow AB.AC = BH.BI\) (đpcm)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link