Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC)

Câu hỏi số 460170:

Vận dụng cao

Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng \({45^0}\), \(AD \bot BC\) và khoảng cách giữa AD và BC bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{6}\)

B. \(\dfrac{{4\sqrt 3 {a^3}}}{3}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{6}\)

D. \(\dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460170

Phương pháp giải

- Dựng hình chữ nhật ABHC, chứng minh \(DH \bot \left( {ABCD} \right)\).

- Xác định góc giữa AD và (ABC) là góc giữa AD và hình chiếu của AD lên (ABC).

- Chứng minh ABHC là hình vuông.

- Xác định đoạn vuông góc chung của AD và BC.

- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao DH và độ dài đường chéo của hình vuông ABHC.

- Tính \({S_{ABHC}} \Rightarrow {S_{ABC}}\) , từ đó tính thể tích \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}HD.{S_{ABC}}\).

Giải chi tiết

Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BD\\AB \bot BH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BDH} \right) \Rightarrow AB \bot DH\\\left\{ \begin{array}{l}AC \bot CH\\AC \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {CDH} \right) \Rightarrow AC \bot DH\\ \Rightarrow DH \bot \left( {ABCD} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \) AH là hình chiếu của AD lên (ABC) \( \Rightarrow \angle \left( {AD;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {AD;AH} \right) = \angle DAH = {45^0}\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot DH\,\,\left( {DH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BC \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).

\( \Rightarrow ABHC\) là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).

Gọi \(O = AH \cap BC\), trong (ADH) kẻ \(OK \bot AD\,\,\left( {K \in AD} \right)\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot AD\\OK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {ADH} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {AD;BC} \right) = OK = a\).

Xét tam giác OKA vuông tại K có \(\angle OAK = {45^0}\) nên tam giác OAK vuông cân tại K \( \Rightarrow OA = OK\sqrt 2 = a\sqrt 2 \).

\( \Rightarrow AH = 2OA = 2\sqrt 2 a\).

Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên \(HD = AH = 2\sqrt 2 a\).

Ta có: \({S_{ABHC}} = \dfrac{1}{2}A{H^2} = \dfrac{1}{2}\left( {2\sqrt 2 {a^2}} \right) = 4{a^2}\) \( \Rightarrow {S_{ABC}} = 2{a^2}\).

Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}HD.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt 2 a.2{a^2} = \dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.