Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC)
Cho tứ diện ABCD có ABC, ABD, ACD là các tam giác vuông tương ứng tại A, B, C. Góc giữa AD và (ABC) bằng \({45^0}\), \(AD \bot BC\) và khoảng cách giữa AD và BC bằng a. Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
- Dựng hình chữ nhật ABHC, chứng minh \(DH \bot \left( {ABCD} \right)\).
- Xác định góc giữa AD và (ABC) là góc giữa AD và hình chiếu của AD lên (ABC).
- Chứng minh ABHC là hình vuông.
- Xác định đoạn vuông góc chung của AD và BC.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao DH và độ dài đường chéo của hình vuông ABHC.
- Tính \({S_{ABHC}} \Rightarrow {S_{ABC}}\) , từ đó tính thể tích \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}HD.{S_{ABC}}\).
Dựng hình chữ nhật ABHC ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot BD\\AB \bot BH\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {BDH} \right) \Rightarrow AB \bot DH\\\left\{ \begin{array}{l}AC \bot CH\\AC \bot CD\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot \left( {CDH} \right) \Rightarrow AC \bot DH\\ \Rightarrow DH \bot \left( {ABCD} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \) AH là hình chiếu của AD lên (ABC) \( \Rightarrow \angle \left( {AD;\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {AD;AH} \right) = \angle DAH = {45^0}\).
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot DH\,\,\left( {DH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\BC \bot AD\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot AH\).
\( \Rightarrow ABHC\) là hình vuông (Tứ giác có hai đường chéo vuông góc).
Gọi \(O = AH \cap BC\), trong (ADH) kẻ \(OK \bot AD\,\,\left( {K \in AD} \right)\) ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}OK \bot AD\\OK \bot BC\,\,\left( {BC \bot \left( {ADH} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {AD;BC} \right) = OK = a\).
Xét tam giác OKA vuông tại K có \(\angle OAK = {45^0}\) nên tam giác OAK vuông cân tại K \( \Rightarrow OA = OK\sqrt 2 = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow AH = 2OA = 2\sqrt 2 a\).
Lại có tam giác AHD vuông cân tại H nên \(HD = AH = 2\sqrt 2 a\).
Ta có: \({S_{ABHC}} = \dfrac{1}{2}A{H^2} = \dfrac{1}{2}\left( {2\sqrt 2 {a^2}} \right) = 4{a^2}\) \( \Rightarrow {S_{ABC}} = 2{a^2}\).
Vậy \({V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}HD.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.2\sqrt 2 a.2{a^2} = \dfrac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
