Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 3}

Câu hỏi số 460172:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right)\). Tìm số điểm cực trị của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\).

A. \(1\)

B. \(2\)

C. \(3\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:460172

Phương pháp giải

- Từ \(f'\left( x \right)\) suy ra các nghiệm của phương trình \(f'\left( x \right) = 0\), chú ý nghiệm bội chẵn, bội lẻ.

- Tính đạo hàm \(g'\left( x \right)\).

- Giải phương trình \(g'\left( x \right) = 0\) xác định các nghiệm bội lẻ.

Giải chi tiết

Theo bài ra ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2}\left( {x - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\,\,\,\left( {nghiem\,\,boi\,\,2} \right)\\x = 3\,\,\,\left( {nghiem\,\,don} \right)\end{array} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}g\left( x \right) = f\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\\ \Rightarrow g'\left( x \right) = \dfrac{{2x + 2}}{{2\sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 2x + 6} }}f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right)\end{array}\)

Cho \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\f'\left( {\sqrt {{x^2} + 2x + 6} } \right) = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\\sqrt {{x^2} + 2x + 6} = 3\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{x^2} + 2x + 6 = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\{x^2} + 2x - 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 1\\x = - 3\end{array} \right.\) (đều là các nghiệm đơn)

(Ta không xét \(\sqrt {{x^2} + 2x + 6} = - 1\) vì \(f'\left( x \right)\) không đổi dấu qua \(x = - 1\) nên nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} + 2x + 6} = - 1\) không làm cho \(g'\left( x \right)\) đổi dấu).

Vậy hàm số đã cho có 3 điểm cực trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.