Tìm tất cả các số nguyên dương \(x,y\) và số nguyên tố \(p\) thỏa mãn\({p^x} - {y^4} = 4\).

Câu hỏi số 462750:

Vận dụng cao

A. \(\left( {x;y;p} \right) = \left( {1;1;2} \right)\)

B. \(\left( {x;y;p} \right) = \left( {1;2;3} \right)\)

C. \(\left( {x;y;p} \right) = \left( {1;1;3} \right)\)

D. \(\left( {x;y;p} \right) = \left( {1;1;5} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:462750

Phương pháp giải

Phân tích \({y^4} + 4\) thành nhân tử rồi sử dụng tính chất của số nguyên tố.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}{p^x} - {y^4} = 4 \Leftrightarrow {p^x} = {y^4} + 4\\{p^x} = {\left( {{y^2} + 2} \right)^2} - 4{y^2}\\{p^x} = \left( {{y^2} - 2y + 2} \right)\left( {{y^2} + 2y + 2} \right)\end{array}\)

Xét \(y = 1 \Rightarrow {p^x} = 5\,\)\( \Rightarrow p = 5;x = 1\), ta tìm được bộ \(\left( {x;y;p} \right) = \left( {1;1;5} \right)\)

Xét \(y = 2 \Rightarrow {p^x} = 20 \Rightarrow \) loại do \(p\) nguyên tố.

Xét \(y = 3 \Rightarrow {p^x} = 85 \Rightarrow \) loại do \(p\) nguyên tố.

Xét \(y = 4 \Rightarrow {p^x} = 260 \Rightarrow \) loại do \(p\) nguyên tố.

Xét \(y = 5 \Rightarrow {p^x} = 629 \Rightarrow \) loại do \(p\) nguyên tố.

Xét \(y \ge 6\) suy ra:\({y^2} - 2y + 2 > 2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} - 2y + 2 = {p^a}\,\,\,\left( 1 \right)\\{y^2} + 2y + 2 = {p^b}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\), với \(a,b \in N;\)\(1 \le a < b;a + b = x\)

Do \(y \ge 6\)\( \Rightarrow {y^2} - 6y + 2 > 0\) và \(p \ge 2\).

Suy ra:\({p^a} < {p^b} = {y^2} + 2y + 2\) \( < \left( {{y^2} + 2y + 2} \right) + \left( {{y^2} - 6y + 2} \right)\)\( = 2\left( {{y^2} - 2y + 2} \right) < 2{p^a} \le {p^{a + 1}}\)

Hay: \({p^a} < {p^b} < {p^{a + 1}}\)\( \Leftrightarrow a < b < a + 1\), không tồn tại số tự nhiên \(b\) thỏa mãn.

Vậy giá trị cần tìm là: \(\left( {x;y;p} \right) = \left( {1;1;5} \right)\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link