Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cắt hình nón \(S\) bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi \(BC\) là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính diện tích của tam giác \(SBC\).

Câu 463489: Cắt hình nón \(S\) bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi \(BC\) là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính diện tích của tam giác \(SBC\).

A. \({S_{SBC}} = \dfrac{{\sqrt 2 {a^2}}}{2}\)

B. \({S_{SBC}} = \dfrac{{\sqrt 2 {a^2}}}{3}\)

C. \({S_{SBC}} = \dfrac{{{a^2}}}{3}\)

D. \({S_{SBC}} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{3}\)

Câu hỏi : 463489

Phương pháp giải:

- Từ giả thiết \(\Delta SAB\) vuông cân có \(AB = a\sqrt 2 \), tính bán kính đáy và chiều cao của hình nón.


- Xác định góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.


- Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(OH,\,\,SH\), áp dụng định lí Pytago tính \(BC\).


- Tính \({S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}SH.BC\).

  • Đáp án : B
    (0) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân \(SAB\) như hình vẽ, theo bài ra ta có\(AB = a\sqrt 2 \) nên hình nón có bán kính \(r = OA = OB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và chiều cao \(h = SO = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

    Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow OH \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

    Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).

    \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right),\,\,SH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\OH \subset \left( {ABC} \right),\,\,OH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SH;OH} \right) = \angle SHO = {60^0}\).

    Xét tam giác vuông \(SOH\) ta có: \(OH = SO.\cot {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\), \(SH = \dfrac{{SO}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

    Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OHB\) ta có:

    \(HB = \sqrt {O{B^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

    \( \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

    Vậy \({S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}BC.SH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).

    Chọn B.

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com