Cắt hình nón \(S\) bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền

Câu hỏi số 463489:

Vận dụng

Cắt hình nón \(S\) bởi mặt phẳng đi qua trục ta được một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng \(a\sqrt 2 \). Gọi \(BC\) là dây cung của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^0}\). Tính diện tích của tam giác \(SBC\).

A. \({S_{SBC}} = \dfrac{{\sqrt 2 {a^2}}}{2}\)

B. \({S_{SBC}} = \dfrac{{\sqrt 2 {a^2}}}{3}\)

C. \({S_{SBC}} = \dfrac{{{a^2}}}{3}\)

D. \({S_{SBC}} = \dfrac{{\sqrt 3 {a^2}}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463489

Phương pháp giải

- Từ giả thiết \(\Delta SAB\) vuông cân có \(AB = a\sqrt 2 \), tính bán kính đáy và chiều cao của hình nón.

- Xác định góc giữa \(\left( {SBC} \right)\) và mặt đáy là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính \(OH,\,\,SH\), áp dụng định lí Pytago tính \(BC\).

- Tính \({S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}SH.BC\).

Giải chi tiết

Giả sử thiết diện là tam giác vuông cân \(SAB\) như hình vẽ, theo bài ra ta có\(AB = a\sqrt 2 \) nên hình nón có bán kính \(r = OA = OB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\) và chiều cao \(h = SO = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\) \( \Rightarrow OH \bot BC\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot OH\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow BC \bot SH\).

\(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SH \subset \left( {SBC} \right),\,\,SH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\OH \subset \left( {ABC} \right),\,\,OH \bot BC\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {SH;OH} \right) = \angle SHO = {60^0}\).

Xét tam giác vuông \(SOH\) ta có: \(OH = SO.\cot {60^0} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}\), \(SH = \dfrac{{SO}}{{\sin {{60}^0}}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(OHB\) ta có:

\(HB = \sqrt {O{B^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{{a\sqrt 6 }}{6}} \right)}^2}} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

\( \Rightarrow BC = 2BH = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\).

Vậy \({S_{\Delta SBC}} = \dfrac{1}{2}BC.SH = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}.\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{3}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.