Cho các đa thức sau: \(P\left( x \right) = - 2x + \frac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\) \(Q\left( x

Câu hỏi số 463896:

Vận dụng

Cho các đa thức sau:

\(P\left( x \right) = - 2x + \frac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\)

\(Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\)

a) Thu gọn và sắp xếp các đa thức trên theo thứ tự số mũ của biến giảm dần. Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của các đa thức đã cho.

b) Xác định \(P\left( x \right) + Q\left( x \right)\),\(P\left( x \right) - Q\left( x \right)\).

c) Xác định đa thức \(R\left( x \right)\)thỏa mãn \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463896

Phương pháp giải

+ Để thu gọn đa thức ta thực hiện phép cộng các đơn thức đồng dạng.

+ Bậc của đa thức là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng thu gọn của đa thức đó.

+ Ta có thể mở rộng cộng (trừ) các đa thức dựa trên quy tắc “dấu ngoặc” và tính chất của các phép toán trên số.

+ Đối với đa thức một biến đã sắp xếp còn có thể cộng (trừ) bằng cách đặt tính theo cột dọc tương tự cộng (trừ) các số.

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) = - 2x + \frac{1}{2}{x^2} + 3{x^4} - 3{x^2} - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \frac{1}{2}{x^2} - 3{x^2} - 2x - 3\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x - 3\end{array}\)

Vậy: \(P\) có bậc là \(4\); Hệ số cao nhất là \(3\); Hệ số tự do là \( - 3\)

\(\begin{array}{l}Q\left( x \right) = 3{x^4} + {x^3} - 4{x^2} + 1,5{x^3} - 3{x^4} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - 3{x^4} + {x^3} + 1,5{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \frac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1\end{array}\)

Vậy: \(Q\) có bậc là \(3\); Hệ số cao nhất là \(\frac{5}{2}\); Hệ số tự do là \(1\)

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) + Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) + \left( {\frac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} + \frac{5}{2}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} - 4{x^2} - 2x + 2x - 3 + 1\end{array}\)

\( = 3{x^4} + \frac{5}{2}{x^3} - \frac{{13}}{2}{x^2} - 2\)

\(\begin{array}{l}P\left( x \right) - Q\left( x \right) = \left( {3{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x - 3} \right) - \left( {\frac{5}{2}{x^3} - 4{x^2} + 2x + 1} \right)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 3{x^4} - \frac{5}{2}{x^2} - 2x - 3 - \frac{5}{2}{x^3} + 4{x^2} - 2x - 1\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = 3{x^4} - \frac{5}{2}{x^3} - \frac{5}{2}{x^2} + 4{x^2} - 2x - 2x - 3 - 1\\ = 3{x^4} - \frac{5}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 4x - 4\end{array}\)

c) \(R\left( x \right) + P\left( x \right) - Q\left( x \right) + {x^2} = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1\)

\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + \left( {3{x^4} + \frac{5}{2}{x^3} - \frac{{13}}{2}{x^2} - 2} \right) - \left( {3{x^4} - \frac{5}{2}{x^3} + \frac{3}{2}{x^2} - 4x - 4} \right) + {x^2} = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1\)

\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 3{x^4} - 3{x^4} + \frac{5}{2}{x^3} + \frac{5}{2}{x^3} - \frac{{13}}{2}{x^2} - \frac{3}{2}{x^2} + {x^2} + 4x - 2 + 4 = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1\)

\( \Leftrightarrow R\left( x \right) + 5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2 = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1 - \left( {5{x^3} - 7{x^2} + 4x + 2} \right)\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - \frac{3}{2}x + 1 - 5{x^3} + 7{x^2} - 4x - 2\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow R\left( x \right) = 2{x^3} - 5{x^3} + 7{x^2} - \frac{3}{2}x - 4x - 2 + 1\\ \Leftrightarrow R\left( x \right) = - 3{x^3} + 7{x^2} - \frac{{11}}{2}x - 1\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link