Cho các đa thức \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} - bx + 2\).a) Cho \(a = - \frac{1}{2}\)và \(b = 4\).

Câu hỏi số 463897:

Vận dụng

Cho các đa thức \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} - bx + 2\).

a) Cho \(a = - \frac{1}{2}\)và \(b = 4\). Chứng minh rằng \(x = \frac{1}{2}\)là nghiệm của đa thức.

b) Biết đa thức đã cho nhận \(x = 1\)và \(x = - 2\) là nghiệm. Tìm giá trị của \(a\)và \(b\).

c) Với đa thức tìm được ở câu b, hãy tìm giá trị của \(x\) thỏa mãn \(f\left( x \right) = x + 2\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463897

Phương pháp giải

+ \(x = a\)được gọi là nghiệm của \(P\left( x \right)\)nếu: \(P\left( a \right) = 0\)

+ Với các đa thức bậc cao, ta thường biến đổi để đưa về tích của các đơn thức rồi tìm nghiệm.

+ \(A.B = 0 \Rightarrow A = 0\)hoặc \(B = 0\).

Giải chi tiết

Với\(a = - \frac{1}{2}\)và \(b = 4\) thì \(f\left( x \right) = {x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 4x + 2\)

Tại \(x = \frac{1}{2}\) ta có: \(f\left( {\frac{1}{2}} \right) = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^3} - \frac{1}{2}{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 4.\frac{1}{2} + 2 = 0\)

Vậy \(x = \frac{1}{2}\)là nghiệm của đa thức đã cho.

\(f\left( x \right)\)nhận \(x = 1\)và \(x = - 2\) là nghiệm, do đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}f\left( 1 \right) = {1^3} + a{.1^2} - b.1 + 2 = 0\\f\left( { - 2} \right) = {\left( { - 2} \right)^3} + a.{\left( { - 2} \right)^2} - b.\left( { - 2} \right) + 2 = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b + 3 = 0\\4a + 2b - 6 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b = - 3\\2a + b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 3\end{array} \right.\)

Vậy \(a = 0,b = 3\) thì \(f\left( x \right)\)nhận \(x = 1\)và \(x = - 2\) là nghiệm.

c) Với \(a = 0,b = 3\) thì \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\)

Theo đề bài \(f\left( x \right) = x + 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^3} - 3x + 2 = x + 2\\ \Leftrightarrow {x^3} - 4x = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} - 4 = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 2\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy các giá trị cần tìm của \(x = 0;x = \pm 2\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link