Cho tam giác\(ABC\)vuông tại\(A\)và có đường phân giác \(BD\). Kẻ đường thẳng \(DH\)vuông có

Câu hỏi số 463898:

Vận dụng

Cho tam giác\(ABC\)vuông tại\(A\)và có đường phân giác \(BD\). Kẻ đường thẳng \(DH\)vuông có với \(BC\)tại điểm \(H\). Trên tia đối của tia \(AB\)lấy điểm \(K\)sao cho \(AK = CH\).

a) Chứng minh rằng \(\Delta ABD = \Delta HBD\).

b) Chứng minh rằng: Đường thẳng \(BD\)là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH\)và \(AD < DC\).

c) Chứng minh rằng: Ba điểm \(H,D,K\)thẳng hàng và đường thẳng \(BD\)vuông góc với đường thẳng \(KC\).

d) Chứng minh rằng: \(2\left( {AD + AK} \right) > CK\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:463898

Phương pháp giải

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Mối quan hệ giữa góc và cạnh trong tam giác (Cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn).

+ Mối quan hệ giữa ba cạnh trong tam giác. Bất đẳng thức trong tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn cạnh còn lại.

+ Tính chất đường trung trực của một đoạn thẳng: Mọi điểm nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng đó.

Giải chi tiết

Xét \(\Delta ABD\)và \(\Delta HBD\)có:

+ \(\angle A = \angle H = {90^o}{\rm{ }}\left( {gt} \right)\)

+ Cạnh BD chung.

+ \(\angle ABD = \angle HBD{\rm{ }}\left( {gt} \right)\)

\( \Rightarrow \)\(\Delta ABD = \Delta HBD\) (cạnh huyền – góc nhọn) (đpcm).

+ Do \(\Delta ABD = \Delta HBD\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = BH\\AD = DH\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \)\(BD\)là đường trung trực của \(AH\)(đpcm)

+ Ta có: \(AD = DH\) (1)

Mà \(\Delta DHC\)vuông tại H \( \Rightarrow DH < DC\)(cạnh góc vuông <cạnh huyền) (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(AD < DC\) (đpcm).

* Chứng minh \(K,D,H\)thẳng hàng:

Xét \(\Delta AKD\)và \(\Delta HCD\)có:

+ \(AK = CH\) (gt)

+ \(\angle A = \angle H = {90^o}{\rm{ }}\left( {gt} \right)\)

+ \(AD = DH\) (theo b)

\( \Rightarrow \)\(\Delta AKD = \Delta HCD\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \angle ADK = \angle HDC\)(hai góc tương ứng) (3)

Mặt khác \(\angle HDC + \angle HDA = \angle ADC = {180^o}\) (4)

Từ (3) và (4) \(\angle AKD + \angle HDA = {180^o}\)

\( \Rightarrow DK,DH\)là hai tia đối nhau.

\( \Rightarrow K,D,H\)thẳng hàng (đpcm)

* Chứng minh \(BD \bot KC\)

Xét \(\Delta KBC\)có:

\(\left\{ \begin{array}{l}KB = KA + AB\\CB = CH + HB\end{array} \right.\) Mà \(KA = CH;AB = HB\) \( \Rightarrow KB = CB\).

\( \Rightarrow \Delta KBC\)cân tại \(B\)

Vì \(BD\)là tia phân giác của góc \(B\)nên suy ra \(BD\)đồng thời là đường cao trong \(\Delta KBC\)ứng với cạnh \(KC\).

\( \Rightarrow BD \bot KC\) (đpcm).

d) Chứng minh rằng: \(2\left( {AD + AK} \right) > CK\)

Xét \(\Delta AKD\), ta có: \(AD + AK > KD \Rightarrow 2\left( {AD + AK} \right) > 2KD\) (mối quan hệ giữa ba cạnh trong tam giác) (5)

Xét \(\Delta KDC\), ta có: \(KD = DC\) (do \(\Delta AKD = \Delta HCD\)ở cmt)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow KD + DC > KC\\ \Leftrightarrow 2KD > KC{\rm{ (6)}}\end{array}\)

Từ (5) và (6) \( \Rightarrow 2\left( {AD + AK} \right) > CK\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link