Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x -

Câu hỏi số 466829:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\). Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 \). Chọn mệnh đề đúng trên các mệnh đề sau:

A. \(F\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)

B. \(F\left( {\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = 3 - \sqrt 3 \)

C. \(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = 3\sqrt 3 - 4\)

D. \(F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:466829

Phương pháp giải

- Tách thành 2 nguyên hàm.

- Sử dụng phương pháp đưa biến vào vi phân.

- Khảo sát hàm số \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\) tìm GTLN, từ đó tìm \(C\).

- Tính các giá trị ở các đáp án và chọn đáp án đúng.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{2\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}dx} - \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\dfrac{{2\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\cos x}}} + \cot x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{2}{{\sin x}} + \cot x + C\end{array}\)

Khảo sát hàm số \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\) ta có:

\(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3}\).

Khi đó ta có BBT:

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\pi } \right)} F\left( x \right) = F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = - \dfrac{2}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + C = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow - \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + C = \sqrt 3 \Leftrightarrow C = 2\sqrt 3 \\ \Rightarrow F\left( x \right) = - \dfrac{2}{{\sin x}} + \cot x + 2\sqrt 3 \end{array}\)

Vậy \(F\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.