Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\). Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 \). Chọn mệnh đề đúng trên các mệnh đề sau:
Câu 466829: Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}}\). Biết rằng giá trị lớn nhất của \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\) là \(\sqrt 3 \). Chọn mệnh đề đúng trên các mệnh đề sau:
A. \(F\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)
B. \(F\left( {\dfrac{{5\pi }}{6}} \right) = 3 - \sqrt 3 \)
C. \(F\left( {\dfrac{\pi }{6}} \right) = 3\sqrt 3 - 4\)
D. \(F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = - \sqrt 3 \)
Quảng cáo
- Tách thành 2 nguyên hàm.
- Sử dụng phương pháp đưa biến vào vi phân.
- Khảo sát hàm số \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\) tìm GTLN, từ đó tìm \(C\).
- Tính các giá trị ở các đáp án và chọn đáp án đúng.
-
Đáp án : C(15) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\int {f\left( x \right)dx} = \int {\dfrac{{2\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}dx} - \int {\dfrac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\dfrac{{2\cos x}}{{2{{\sin }^2}x}}\dfrac{{d\left( {\sin x} \right)}}{{\cos x}}} + \cot x\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = - \dfrac{2}{{\sin x}} + \cot x + C\end{array}\)
Khảo sát hàm số \(F\left( x \right)\) trên \(\left( {0;\pi } \right)\) ta có:
\(F'\left( x \right) = f\left( x \right) = \dfrac{{2\cos x - 1}}{{{{\sin }^2}x}} = 0 \Leftrightarrow \cos x = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi }{3}\).
Khi đó ta có BBT:
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left( {0;\pi } \right)} F\left( x \right) = F\left( {\dfrac{\pi }{3}} \right) = - \dfrac{2}{{\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}}} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + C = \sqrt 3 \\ \Leftrightarrow - \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} + C = \sqrt 3 \Leftrightarrow C = 2\sqrt 3 \\ \Rightarrow F\left( x \right) = - \dfrac{2}{{\sin x}} + \cot x + 2\sqrt 3 \end{array}\)
Vậy \(F\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right) = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\).
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
