Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right).f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}\). Biết

Câu hỏi số 466828:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right).f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}\). Biết \(f\left( 0 \right) = 2\). Tính \({f^2}\left( 2 \right)\).

A. \({f^2}\left( 2 \right) = \dfrac{{313}}{{15}}\)

B. \({f^2}\left( 2 \right) = \dfrac{{332}}{{15}}\)

C. \({f^2}\left( 2 \right) = \dfrac{{324}}{{15}}\)

D. \({f^2}\left( 2 \right) = \dfrac{{323}}{{15}}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:466828

Phương pháp giải

- Sử dụng phương pháp lấy nguyên hàm hai vế.

- Đưa biến vào vi phân: \(f'\left( x \right)dx = d\left[ {f\left( x \right)} \right]\). Từ đó tính \({f^2}\left( x \right)\).

- Sử dụng giả thiết \(f\left( 0 \right) = 2\) tìm hằng số \(C\), sau đó tính \({f^2}\left( 2 \right)\).

Giải chi tiết

Lấy nguyên hàm hai vế phương trình ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,f'\left( x \right).f\left( x \right) = {x^4} + {x^2}\\ \Rightarrow \int {f'\left( x \right).f\left( x \right)dx} = \int {\left( {{x^4} + {x^2}} \right)dx} = \dfrac{{{x^5}}}{5} + \dfrac{{{x^3}}}{3} + C\\ \Leftrightarrow \int {f'\left( x \right).f\left( x \right)\dfrac{{d\left( {f\left( x \right)} \right)}}{{f'\left( x \right)}}} = \dfrac{{{x^5}}}{5} + \dfrac{{{x^3}}}{3} + C\\ \Leftrightarrow \int {f\left( x \right)d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \dfrac{{{x^5}}}{5} + \dfrac{{{x^3}}}{3} + C\\ \Leftrightarrow \dfrac{{{f^2}\left( x \right)}}{2} = \dfrac{{{x^5}}}{5} + \dfrac{{{x^3}}}{3} + C\end{array}\)

Theo bài ra ta có: \(f\left( 0 \right) = 2 \Rightarrow C = 4 \Rightarrow {f^2}\left( x \right) = \dfrac{2}{5}{x^5} + \dfrac{2}{3}{x^3} + 4\)

Vậy \({f^2}\left( 2 \right) = \dfrac{2}{5}.32 + \dfrac{2}{3}.8 + 2 = \dfrac{{332}}{{15}}\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.