Cho nửa đường tròn O, đườngkính AB cố định. H là một điểm bất kì trên cung . Trên tia BH lấy một điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Đoạn thẳng DO cắt AH tại M. Tìm quỹ tích điểm M.

Câu hỏi số 46731:

Vận dụng

Cho nửa đường tròn O, đườngkính AB cố định. H là một điểm bất kì trên cung $\dpi{100} \widehat{AB}$ . Trên tia BH lấy một điểm D sao cho H là trung điểm của BD. Đoạn thẳng DO cắt AH tại M. Tìm quỹ tích điểm M.

A. Click để xem đáp án

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:46731

Giải chi tiết

Phần thuận : Dễ dàng nhận thấy M là trọng tâm của tam giác ABD nên

$\dpi{100} \frac{AM}{AH}$ = $\dpi{100} \frac{2}{3}$ . Từ M kẻ MN // OH .

Ta có $\dpi{100} \frac{AN}{AO}$ = $\dpi{100} \frac{AM}{AH}$ = $\dpi{100} \frac{MN}{OH}$ = $\dpi{100} \frac{2}{3}$

Từ hệ thức này suy ra N là một điểm cố định vì A, O cố định ;

MN = $\dpi{100} \frac{2}{3}$ OH ( OH là bán kính đường tròn tâm O đường kính AB) nên OH = R không đổi. Do đó M nằm trên nửa đường tròn (N, $\dpi{100} \frac{2}{3}$ R) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB chứa nửa đường tròn đã cho

Phần đảo: Lấy một điểm M' ∈ ( N, $\dpi{100} \frac{2}{3}$ R) (R là bán kính đường tròn (O))

AM' cắt đường tròn (O; R) tại H' .Trên tia BH' lấy điểm D' sao cho H'D' = H'B. Nối D' với O ta phải chúng minh OD' đi qua M'

Thật vậy, xét ∆AOH' có $\dpi{100} \frac{NM'}{OH'}$ = $\dpi{100} \frac{\frac{2}{3}R}{R}$ = $\dpi{100} \frac{2}{3}$ ( do M' ∈ ( N, $\dpi{100} \frac{2}{3}$ R)) và H' ∈ (O; R) nên

$\dpi{100} \frac{AN}{AO}$ = $\dpi{100} \frac{NM'}{OH'}$ = $\dpi{100} \frac{2}{3}$ => MN' // OH'

Vậy $\dpi{100} \frac{AM'}{AH'}$ = $\dpi{100} \frac{2}{3}$ => M' là trọng tâm của ∆AND'. Do đó trung tuyến D'O phải đi qua M'

Kết luận : Quỹ tích điểm M là đường tròn (N, r) ( r = $\dpi{100} \frac{2}{3}$ R) cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB và chứa nửa đường tròn (O; R), (N nằm trên bán kính OA và $\dpi{100} \frac{AN}{AO}$ = $\dpi{100} \frac{2}{3}$ )

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.