Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi. Biết

Câu hỏi số 467918:

Vận dụng

Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\) có đáy \(ABCD\) là hình thoi. Biết \(AC = 2,AA' = \sqrt 3 .\) Tính góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {AB'D'} \right)\) và \(\left( {CB'D'} \right).\)

A. \({60^0}.\)

B. \({90^0}.\)

C. \({45^0}.\)

D. \({30^0}.\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:467918

Phương pháp giải

Xác định giao tuyến hai mặt phẳng là \(B^{\prime} D^{\prime}\).
Tìm \(I=A^{\prime} C^{\prime} \cap B^{\prime} D^{\prime}\)
Chứng minh \(A I \perp B^{\prime} D^{\prime}\) và \(C I \perp B^{\prime} D^{\prime} \Rightarrow\) góc giữa hai mặt phẳng bằng \(\widehat{A I C}\).
Dùng Pitago trong tam giác vuông \(A A^{\prime} I, C C^{\prime} I\) để tính \(I A=I C=A C \Rightarrow \triangle A I C\) đều.

Giải chi tiết

Gọi \(A^{\prime} C^{\prime} \cap B^{\prime} D^{\prime} \equiv I\). Do tứ giác \(A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) là hình thoi

\(\Rightarrow A^{\prime} C^{\prime} \perp B^{\prime} D^{\prime} \equiv I\)
Ta có: \(\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right) \cap\left(C B^{\prime} D^{\prime}\right) \equiv B^{\prime} D^{\prime}\) các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật bằng nhau nên

\(\mathrm{AB}^{\prime}=\mathrm{AD}^{\prime}=\mathrm{CB}^{\prime}=\mathrm{CD}^{\prime}\)
\(\Rightarrow \Delta A B^{\prime} D^{\prime}\) cân tại A và \(\Delta C B^{\prime} D^{\prime}\) cân tại C
\(\Rightarrow A I \perp B^{\prime} D^{\prime}\) và \(C I \perp B^{\prime} D^{\prime}\)
\(\Rightarrow\left(\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right),\left(C B^{\prime} D^{\prime}\right)\right)=\widehat{A I C}\)
Xét \(\Delta C I C^{\prime}\) và \(\Delta A I A^{\prime}\) có: \(I A^{\prime}=I C^{\prime}=\frac{A^{\prime} C^{\prime}}{2}=1\)
Áp dụng định lý Pitago vào \(\Delta\) vuông \(C C^{\prime} I\) và \(\Delta\) vuông \(A A^{\prime} I\) :
\(I C^2=C C^{\prime 2}+I C^{\prime 2}=3+1=4\)
\(I A^2=A A^{\prime 2}+I A^{\prime 2}=3=1=4\)
\(\Rightarrow I C=I A=2=A C \Rightarrow \triangle I A C\) đều \(\Rightarrow \widehat{A I C}=60^{\circ}\)
Vậy \(\left(\left(A B^{\prime} D^{\prime}\right),\left(C B^{\prime} D^{\prime}\right)\right)=\widehat{A I C}=60^{\circ}\)

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.