Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) khác \(C\) sao cho \(AM > MC.\)

Câu hỏi số 469145:

Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A.\) Trên cạnh \(AC\) lấy điểm \(M\) khác \(C\) sao cho \(AM > MC.\) Vẽ đường tròn tâm \(O\) đường kính \(MC,\) đường tròn này cắt \(BC\) tại \(E\,\,\left( {E \ne C} \right)\) và cắt đường thẳng \(BM\) tại \(D\,\,\left( {D \ne M} \right).\)

a) Chứng minh ADCB là một tứ giác nội tiếp

b) Chứng minh \(\angle ABM = \angle AEM\)và \(EM\) là tia phân giác của \(\angle AED.\)

c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(ED\) và \(AC.\) Chứng minh rằng \(CG.MA = CA.GM.\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469145

Giải chi tiết

a) Chứng minh \(ADCB\) là một tứ giác nội tiếp.

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle MDC\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\( \Rightarrow \angle MDC = {90^0}\) hay \(\angle BDC = {90^0}\)

Xét tứ giác \(ADCB\) ta có:

\(\angle BAC = \angle BDC = {90^0}\)

Mà \(A,\,\,D\) là đỉnh kề nhau

\( \Rightarrow ADCB\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b) Chứng minh \(\angle ABM = \angle AEM\) và \(EM\) là tia phân giác của \(\angle AED.\)

Xét đường tròn \(\left( O \right)\) ta có: \(\angle MEC\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn

\( \Rightarrow \angle MEC = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle BEM = {90^0}\) (hai góc kề bù)

Xét tứ giác \(ABEM\) ta có:

\(\angle BAM + \angle BEM = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện

\( \Rightarrow ABEM\) là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

\( \Rightarrow \angle ABM = \angle AEM\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AM\)) (đpcm).

Ta có: \(\angle MED = \angle MCD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(MD\) của \(\left( O \right)\)) (1)

Vì \(ADCB\) là tứ giác nội tiếp (cmt)

\( \Rightarrow \angle ACD = \angle ABD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cng \(AD\)) (2)

Lại có: \(\angle ABM = \angle AEM\) (cmt)

Hay \(\angle ABD = \angle AEM\) (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có: \(\angle AEM = \angle MED\)

Hay \(ME\) là phân giác của \(\angle AED.\) (đpcm)

c) Gọi \(G\) là giao điểm của \(ED\) và \(AC.\) Chứng minh rằng \(CG.MA = CA.GM.\)

Xét \(\Delta AEG\) ta có: \(EM\) là phân giác trong của tam giác (cmt)

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{EG}} = \dfrac{{AM}}{{MG}}\) (tính chất đường phân giác)

Lại có: \(ME \bot EC\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow EC\) là đường phân giác của góc ngoài tại đỉnh \(E\) của \(\Delta AEG\)

\( \Rightarrow \dfrac{{AE}}{{EG}} = \dfrac{{AC}}{{CG}}\) (tính chất đường phân giác)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{AM}}{{MG}} = \dfrac{{AC}}{{CG}}\,\,\left( { = \dfrac{{AE}}{{EG}}} \right)\\ \Rightarrow AM.CG = AC.MG\,\,\,\left( {dpcm} \right).\end{array}\)

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link