Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 2;2; - 2} \right)$; \(B\left(

Câu hỏi số 469577:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( { - 2;2; - 2} \right)$; $B\left( {3; - 3;3} \right)$. Điểm $M$ thay đổi trong không gian thỏa mãn $\dfrac{{MA}}{{MB}} = \dfrac{2}{3}$. Điểm $N\left( {a;b;c} \right)$ thuộc mặt phẳng $\left( P \right):\,\, - x + 2y - 2z + 6 = 0$ sao cho MN nhỏ nhất. Tính tổng $T = a + b + c$.

A. $T = 6$.

B. $T = - 2$.

C. $T = 12$.

D. $T = - 6$.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469577

Phương pháp giải

Gọi $M(x, y, z)$ và giải phương trình 9MA=4MB, suy ra tập hợp điểm M là một mặt cầu tâm I , bán kính R.

MN nhỏ nhất $\Rightarrow N$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$.

Giải chi tiết

Gọi $M(x, y, z) \Rightarrow M A=\sqrt{(x+2)^2+(y-2)^2+(z+2)^2} ; M B=\sqrt{(x-3)^2+(y+3)^2+(z-3)^2}$

$\Rightarrow \dfrac{M A^2}{M B^2}=\frac{4}{9} \Rightarrow 9 M A=4 M B$

$ \Leftrightarrow 9\left[(x+2)^2+(y-2)^2+(z+2)^2\right]=4\left[(x-3)^2+(y+3)^2+(z-3)^2\right]$

$\Rightarrow(x+6)^2+(y-6)^2+(z+6)^2=108$

$\Rightarrow M \in$ mặt cầu tâm $I(-6 ; 6 ;-6), r=\sqrt{108}$

Ta có: $d(I,(P))=12>r=\sqrt{108}$

Vậy để $M N \min \Rightarrow N$ là hình chiếu của $I$ lên $(P)$

Ta cần tìm hình chiếu của $I(-6 ; 6 ;-6)$ lên mặt phẳng $(P):-x+2 y-2 z+6=0$. $\Rightarrow N(-2 ;-2 ; 2)$.

Vậy $a+b+c=-2$.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.