Tổng tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(M = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 1} + 3} +

Câu hỏi số 469634:

Vận dụng

Tổng tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để biểu thức \(M = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 1} + 3} + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 1} + 3} \) đạt giá trị nhỏ nhất là

A. \(9\)

B. \(10\)

C. \(15\)

D. \(14\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469634

Phương pháp giải

Biến đổi căn bậc hai, sau đó áp dụng BĐT dấu giá trị tuyệt đối: \(\left| {a + b} \right| \le \left| a \right| + \left| b \right|\)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = \sqrt {x + 4\sqrt {x - 1} + 3} + \sqrt {x - 4\sqrt {x - 1} + 3} \\M = \sqrt {x - 1 + 2.\sqrt {x - 1} .2 + {2^2}} + \sqrt {x - 1 - 2.\sqrt {x - 1} .2 + {2^2}} \\M = \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {\sqrt {x - 1} - 2} \right)}^2}} \\M = \left| {\sqrt {x - 1} + 2} \right| + \left| {\sqrt {x - 1} - 2} \right|\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối ta có:

\(\begin{array}{l}\left| {\sqrt {x - 1} + 2} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right| \ge \left| {\sqrt {x - 1} + 2 + 2 - \sqrt {x - 1} } \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\sqrt {x - 1} + 2} \right| + \left| {2 - \sqrt {x - 1} } \right| \ge 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left( {\sqrt {x - 1} + 2} \right)\left( {2 - \sqrt {x - 1} } \right) \ge 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} + 2 \ge 0\\2 - \sqrt {x - 1} \ge 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}\sqrt {x - 1} + 2 \le 0\\2 - \sqrt {x - 1} \le 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow - 2 \le \sqrt {x - 1} \le 2\).

Mà \(\sqrt {x - 1} \ge 0\) nên \(0 \le \sqrt {x - 1} \le 2\).

\( \Rightarrow 0 \le x - 1 \le 4\)

\( \Rightarrow 1 \le x \le 5\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{Z}\\1 \le x \le 5\end{array} \right. \Rightarrow x \in \left\{ {1;\,\,2;\,\,3;\,\,4;\,\,5} \right\}\)

Tổng tất cả các giá trị của \(x\) là: \(1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10