Tập hợp tất cả các giá trị của \(a\) để biểu thức \(P = \frac{{{a^2} + 6}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\)

Câu hỏi số 469633:

Thông hiểu

Tập hợp tất cả các giá trị của \(a\) để biểu thức \(P = \frac{{{a^2} + 6}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\) đạt giá trị nhỏ nhất là

A. \(\left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,0;\,\,\sqrt 2 } \right\}\)

B. \(\left\{ { - \sqrt 2 } \right\}\)

C. \(\left\{ {\sqrt 2 } \right\}\)

D. \(\left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,\sqrt 2 } \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469633

Phương pháp giải

Biến đổi \(P = \sqrt {{a^2} + 2} + \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\) sau đó áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có: \(P = \frac{{{a^2} + 6}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} = \frac{{{a^2} + 2 + 4}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\)\( = \sqrt {{a^2} + 2} + \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt {{a^2} + 2} \) và \(\frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + 2} + \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} \cdot \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 2} + \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\\ \Leftrightarrow P \ge 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 2} = \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 2\)\( \Leftrightarrow a = \pm \sqrt 2 \).

Vậy \(\min P = 4 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10