Tập hợp tất cả các giá trị của \(a\) để biểu thức \(P = \frac{{{a^2} + 6}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\)

Câu hỏi số 469633:

Thông hiểu

Tập hợp tất cả các giá trị của \(a\) để biểu thức \(P = \frac{{{a^2} + 6}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\) đạt giá trị nhỏ nhất là

A. \(\left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,0;\,\,\sqrt 2 } \right\}\)

B. \(\left\{ { - \sqrt 2 } \right\}\)

C. \(\left\{ {\sqrt 2 } \right\}\)

D. \(\left\{ { - \sqrt 2 ;\,\,\sqrt 2 } \right\}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469633

Phương pháp giải

Biến đổi \(P = \sqrt {{a^2} + 2} + \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\) sau đó áp dụng BĐT Cô-si.

Giải chi tiết

Ta có: \(P = \frac{{{a^2} + 6}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} = \frac{{{a^2} + 2 + 4}}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\)\( = \sqrt {{a^2} + 2} + \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\sqrt {{a^2} + 2} \) và \(\frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\) ta có:

\(\begin{array}{l}\sqrt {{a^2} + 2} + \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 2\sqrt {\sqrt {{a^2} + 2} \cdot \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}} \\ \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 2} + \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }} \ge 4\\ \Leftrightarrow P \ge 4\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt {{a^2} + 2} = \frac{4}{{\sqrt {{a^2} + 2} }}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = 2\)\( \Leftrightarrow a = \pm \sqrt 2 \).

Vậy \(\min P = 4 \Leftrightarrow a = \pm \sqrt 2 \).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.