Gọi \({x_0},\,\,{y_0}\) là hai giá trị để biểu thức \(A = - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y\) đạt giá

Câu hỏi số 469637:

Vận dụng

Gọi \({x_0},\,\,{y_0}\) là hai giá trị để biểu thức \(A = - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y\) đạt giá trị lớn nhất. Giá trị của biểu thức \(3{x_0} + 2{y_0}\) là

A. \(4\)

B. \(6\)

C. \(8\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469637

Phương pháp giải

Biến đổi biểu thức \(A\) để tìm giá trị lớn nhất. Từ đó, tìm được \({x_0},\,\,{y_0}\) và tính được giá trị của biểu thức \(3{x_0} + 2{y_0}\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}A = - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y\\ \Rightarrow - 2A = 2{x^2} + 2{y^2} - 2xy - 4x - 4y\\ \Leftrightarrow - 2A = {x^2} - 2xy + {y^2} + {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 4y + 4 - 8\\ \Leftrightarrow - 2A = {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 8\\ \Leftrightarrow A = - \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} - 8} \right]\end{array}\)

Với mọi \(x,\,\,y \in R\) ta có:

\({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\)

\({\left( {x - 2} \right)^2} \ge 0\)

\({\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \ge 0\)

\( \Rightarrow {\left( {x - y} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} - 8 \ge - 8\)

\( \Rightarrow - \frac{1}{2}\left[ {{{\left( {x - y} \right)}^2} + {{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 2} \right)}^2} - 8} \right] \le 4\)

\( \Rightarrow A \le 4\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 2 = 0\\y - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = y = 2\)

\( \Rightarrow \max A = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {y_0} = 2\)

Thay \({x_0} = {y_0} = 2\) vào biểu thức \(3{x_0} + 2{y_0}\) ta được: \(3.2 + 2.2 = 10\)

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.