Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x - 2y + 2 = 2\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)\).

Câu hỏi số 469643:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(x,\,\,y\) thỏa mãn \(x - 2y + 2 = 2\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)\). Gọi \(M,\,\,m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = x - 2y\). Tính \(M + m\).

A. \(M + m = 6\)

B. \(M + m = 2\)

C. \(M + m = 0\)

D. \(M + m = 4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469643

Phương pháp giải

+) Tìm GTNN biểu thức \(x - 2y + 2\): Khai triển \({\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\)

+) Tìm GTLN của biểu thức \(x - 2y + 2\): Bình phương hai vế của đẳng thức \(x - 2y + 2 = 2\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)\)

Giải chi tiết

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}x - 1 \ge 0\\3 - 2y \ge 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 1\\y \le \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

*) Tìm GTNN

\({\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\)\( = x - 2y + 2 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {3 - 2y} \right)} \)

Ta có: \(x - 2y + 2 = 2\sqrt {x - 2y + 2 + 2\sqrt {\left( {x - 1} \right)\left( {3 - 2y} \right)} } \ge 2\sqrt {x - 2y + 2} \ge 0\)

\( \Rightarrow S = x - 2y \ge - 2\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(x = 1\); \(y = \frac{3}{2}\)

\( \Rightarrow {\mathop{\rm m}\nolimits} = \min S = - 2\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = \frac{3}{2}\end{array} \right.\)

*) Tìm GTLN

Ta có:

\(\begin{array}{l}x - 2y + 2 = 2\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4{\left( {\sqrt {x - 1} + \sqrt {3 - 2y} } \right)^2}\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4\left( {x - 1 + 3 - 2y + 2\sqrt {x - 1} .\sqrt {3 - 2y} } \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} = 4\left( {x - 2y + 2 + 2\sqrt {x - 1} .\sqrt {3 - 2y} } \right) \le 4\left( {x - 2y + 2 + x - 2y + 2} \right)\\ \Leftrightarrow {\left( {x - 2y + 2} \right)^2} \le 8\left( {x - 2y + 2} \right)\\ \Leftrightarrow x - 2y + 2 \le 8\\ \Leftrightarrow x - 2y \le 6\\ \Leftrightarrow S \le 6\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 1 = 3 - 2y\\x - 2y = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y = 4\\x - 2y = 6\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow M = \max \,S = 6\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = - \frac{1}{2}\end{array} \right.\)

Vậy \(M + m = 6 + \left( { - 2} \right) = 4\).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.