Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4\). Tính \(P = a + 2b + 3c\)

Câu hỏi số 469642:

Vận dụng cao

Cho các số thực \(a,\,\,b,\,\,c\) thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4\). Tính \(P = a + 2b + 3c\) khi biểu thức \(\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\) đạt giá trị lớn nhất.

A. \(12\)

B. \( - 3\)

C. \(3\)

D. \(15\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:469642

Phương pháp giải

Biến đổi \({a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4 \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9\).

Áp dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\). Từ đó tìm được \(a,\,\,b,\,\,c\) và tính giá trị của biểu thức \(P = a + 2b + 3c\).

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{a^2} + {b^2} + {c^2} - 2a - 4b = 4\\ \Leftrightarrow {a^2} - 2a + 1 + {b^2} - 4b + 4 + {c^2} = 9\\ \Leftrightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 9\end{array}\)

\(\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\)\( = \left| {2a - 2 + b - 2 - 2c + 11} \right|\)\( = \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( { - 2} \right)c + 11} \right|\)

\(\begin{array}{l}\, \Rightarrow \left| {2a + b - 2c + 7} \right| \le \left| {2\left( {a - 1} \right) + \left( {b - 2} \right) + \left( { - 2} \right)c} \right| + 11\\\, \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\, \le \sqrt {{2^2} + {1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} + 11\\\, \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\,\, \le \sqrt 9 .\sqrt 9 + 11\\ \Leftrightarrow \,\left| {2a + b - 2c + 7} \right|\, \le 20\end{array}\)

Dấu “\( = \)” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{a - 1}}{2} = \frac{{b - 2}}{1} = \frac{c}{{ - 2}} \ge 0\\{\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} + {c^2} = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 3\\c = - 2\end{array} \right.\)

Với \(a = 3,\,\,b = 3,\,\,c = - 2\) giá trị của biểu thức \(P = a + 2b + 3c\) là:

\(P = a + 2b + 3c = 3 + 2.3 + 3.\left( { - 2} \right) = 3\)

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.