Một sợi dây kim loại dài \(120\,\,cm\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được

Câu hỏi số 470094:

Vận dụng

Một sợi dây kim loại dài \(120\,\,cm\) được cắt thành hai đoạn. Đoạn dây thứ nhất được uốn thành hình vuông, đoạn dây thứ hai được uốn thành vòng tròn (tham khảo hình bên dưới).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất là (làm tròn đến hàng đơn vị).

A. \(498\)

B. \(462\)

C. \(504\)

D. \(426\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470094

Phương pháp giải

- Đặt cạnh hình vuông là \(x\,\,\left( {cm} \right)\), bán kính hình tròn là \(y\,\,\left( {cm} \right)\).

- Tính chu vi hình vuông và chu vi hình tròn, suy ra tổng 2 chu vi bằng \(120\,\,cm\).

- Tính diện tích hình vuông, diện tích hình tròn và tính tổng.

- Sử dụng BĐT Bunhiacopxki: \({\left( {ax + by} \right)^2} \le \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\). Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{a}{x} = \dfrac{b}{y}\).

Giải chi tiết

Đặt cạnh hình vuông là \(x\,\,\left( {cm} \right)\), bán kính hình tròn là \(y\,\,\left( {cm} \right)\).

\( \Rightarrow \) Độ dài đoạn dây thứ nhất là \(4x\,\,\left( {cm} \right)\), độ dài đoạn dây thứ hai là \(2\pi y\,\,\left( {cm} \right)\).

\( \Rightarrow 4x + 2\pi y = 120 \Leftrightarrow 2x + \pi y = 60\,\,\left( {cm} \right)\,\,\left( * \right)\).

Diện tích hình vuông là \({x^2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Diện tích hình tròn là \(\pi {y^2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Tổng diện tích của hình vuông và hình tròn là: \({x^2} + \pi {y^2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(\begin{array}{l}{60^2} = {\left( {2x + \pi y} \right)^2} = {\left( {2x + \sqrt \pi .\sqrt \pi y} \right)^2} \le \left( {{2^2} + {{\sqrt \pi }^2}} \right)\left( {{x^2} + \pi {y^2}} \right)\\ \Rightarrow {x^2} + \pi {y^2} \ge \dfrac{{{{60}^2}}}{{4 + \pi }} \approx 504\,\,\left( {c{m^2}} \right)\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{x}{2} = \dfrac{{\sqrt \pi y}}{{\sqrt \pi }} \Leftrightarrow \dfrac{x}{2} = y\), kết hợp (*)

\( \Rightarrow 4y + \pi y = 60\,\,\left( {cm} \right) \Leftrightarrow y = \dfrac{{60}}{{4 + \pi }}\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow x = \dfrac{{120}}{{4 + \pi }}\,\,\left( {cm} \right)\)

Vậy tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất \(504\,\,\left( {c{m^2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.