Cho hàm số \(y = {x^3} + {x^2} - 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu cặp điểm \(A,\,\,B\)

Câu hỏi số 470093:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = {x^3} + {x^2} - 4\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Có bao nhiêu cặp điểm \(A,\,\,B\) thuộc \(\left( C \right)\) sao cho ba điểm \(O,\,\,A,\,\,B\) thẳng hàng và \(OA = 2OB\) (\(O\) là gốc tọa độ)?

A. \(2\)

B. \(4\)

C. Vô số

D. \(1\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470093

Phương pháp giải

- Giả sử \(A\left( {a;{a^3} + {a^2} - 4} \right),\,\,B\left( {b;{b^3} + {b^2} - 4} \right)\).

- Vì \(OA = 2OB\) nên \(\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow {OB} \\\overrightarrow {OA} = - 2\overrightarrow {OB} \end{array} \right.\), giải hệ phương trình bằng phương pháp thế.

Giải chi tiết

Giả sử \(A\left( {a;{a^3} + {a^2} - 4} \right),\,\,B\left( {b;{b^3} + {b^2} - 4} \right)\).

Vì \(OA = 2OB\) nên \(\left[ \begin{array}{l}\overrightarrow {OA} = 2\overrightarrow {OB} \\\overrightarrow {OA} = - 2\overrightarrow {OB} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {a;{a^3} + {a^2} - 4} \right) = 2\left( {b;{b^3} + {b^2} - 4} \right)\\\left( {a;{a^3} + {a^2} - 4} \right) = - 2\left( {b;{b^3} + {b^2} - 4} \right)\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\{a^3} + {a^2} - 4 = 2{b^3} + 2{b^2} - 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 2b\\{a^3} + {a^2} - 4 = - 2{b^3} - 2{b^2} + 8\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\8{b^3} + 4{b^2} - 4 = 2{b^3} + 2{b^2} - 8\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 2b\\ - 8{b^3} + 4{b^2} - 4 = - 2{b^3} - 2{b^2} + 8\end{array} \right.\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\6{b^3} + 2{b^2} + 4 = 0\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 2b\\6{b^3} - 6{b^2} + 12 = 0\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = 2b\\b = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = - 2b\\b = - 1\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 1\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy có 2 cặp điểm \(A,\,\,B\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.