Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách

Câu hỏi số 470095:

Vận dụng

Cho tứ diện \(OABC\) có ba cạnh \(OA,\,\,OB,\,\,OC\) đôi một vuông góc với nhau. Biết khoảng cách từ điểm \(O\) đến các đường thẳng \(BC,\,\,CA,\,\,AB\) lần lượt là \(a,\,\,a\sqrt 2 ,\,\,a\sqrt 3 \). Tính khoảng cách từ điểm \(O\) đến mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) theo \(a\).

A. \(2a\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt {66} }}{{11}}\)

C. \(\dfrac{{11a}}{6}\)

D. \(\dfrac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:470095

Phương pháp giải

- Kẻ \(OM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right)\), \(ON \bot AB\,\,\left( {N \in AB} \right)\), \(OP \bot BC\,\,\left( {P \in BC} \right)\). Khi đó ta có \(OP = a,\) \(OM = a\sqrt 2 ,\) \(ON = a\sqrt 3 \).

- Trong \(\left( {OCN} \right)\) kẻ \(OH \bot CN\,\,\left( {H \in CN} \right)\), chứng minh \(OH \bot \left( {ABC} \right)\).

- Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính khoảng cách.

Giải chi tiết

Kẻ \(OM \bot AC\,\,\left( {M \in AC} \right)\), \(ON \bot AB\,\,\left( {N \in AB} \right)\), \(OP \bot BC\,\,\left( {P \in BC} \right)\).

Khi đó ta có \(OP = a,\,\,OM = a\sqrt 2 ,\,\,ON = a\sqrt 3 \).

Trong \(\left( {OCN} \right)\) kẻ \(OH \bot CN\,\,\left( {H \in CN} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}AB \bot ON\\AB \bot OC\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {OCN} \right) \Rightarrow AB \bot OH\\\left\{ \begin{array}{l}OH \bot AB\\OH \bot CN\end{array} \right. \Rightarrow OH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = OH\end{array}\)

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: \(\dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} + \dfrac{1}{{O{N^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\)

Lại có

\(\begin{array}{l}\dfrac{1}{{O{M^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}};\,\,\dfrac{1}{{O{N^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}};\,\,\dfrac{1}{{O{P^2}}} = \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{M^2}}} + \dfrac{1}{{O{N^2}}} + \dfrac{1}{{O{P^2}}} = 2\left( {\dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{O{M^2}}} + \dfrac{1}{{O{N^2}}} + \dfrac{1}{{O{P^2}}}} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} + \dfrac{1}{{O{C^2}}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{1}{{2{a^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}}} \right) = \dfrac{{11}}{{12{a^2}}}\\ \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{{11}}{{12{a^2}}} \Rightarrow OH = \dfrac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\end{array}\)

Vậy \(d\left( {O;\left( {ABC} \right)} \right) = \dfrac{{2a\sqrt {33} }}{{11}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.