Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \) và \(\left( {z + 2i} \right)\left( {\bar

Câu hỏi số 473179:

Vận dụng

Có bao nhiêu số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z \right| = \sqrt 2 \) và \(\left( {z + 2i} \right)\left( {\bar z - 2} \right)\) là số thuần ảo?

A. \(1\)

B. \(0\)

C. \(\;2\)

D. \(4\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:473179

Phương pháp giải

- Đặt \(w = \left( {z + 2i} \right)\left( {\overline z - 2} \right)\), nhân số phức, sử dụng công thức \(z.\overline z = {\left| z \right|^2}\).

- Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Rightarrow \overline z = x - yi\), thay vào phương trình và giải hệ tìm \(x,\,\,y\)

- Rút \(x\) theo \(y\) hoặc ngược lại, thế vào \(\left| z \right| = 2\) giải phương trình tìm \(x\) hoặc \(y\).

Giải chi tiết

Đặt

\(\begin{array}{l}w = \left( {z + 2i} \right)\left( {\overline z - 2} \right)\\\,\,\,\,\, = z.\overline z - 2z + 2i\overline z - 4i\\\,\,\,\,\, = {\left| z \right|^2} - 2z + 2i\overline z - 4i\\\,\,\,\,\, = 2 - 2z + 2i\overline z - 4i\end{array}\)

Đặt \(z = x + yi\,\,\left( {x;y \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Rightarrow \overline z = x - yi\), khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}w = 2 - 2z + 2i\overline z - 4i\\\,\,\,\,\, = 2 - 2\left( {x + yi} \right) + 2i\left( {x - yi} \right) - 4i\\\,\,\,\,\, = 2 - 2x - 2yi + 2xi + 2y - 4i\\\,\,\,\,\, = \left( {2 - 2x + 2y} \right) + \left( {2x - 2y - 4} \right)i\end{array}\)

Vì \(w\) là số thuần ào nên \(2 - 2x + 2y = 0 \Leftrightarrow x = y + 1\).

Lại có \(\left| z \right| = 2 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} = 4\) \( \Rightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} + {y^2} = 4 \Leftrightarrow 2{y^2} + 2y - 3 = 0 \Leftrightarrow y = \dfrac{{ - 1 \pm \sqrt 7 }}{2}\).

Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.