Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 473180:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy, góc giữa \(SA\) và mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng \({45^0}\) (tham khảo hình bên). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:

A. \(\dfrac{{{a^3}}}{8}\)

B. \(\dfrac{{3{a^3}}}{8}\)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{{12}}\)

D. \(\dfrac{{{a^3}}}{4}\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:473180

Phương pháp giải

- Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\), chứng minh \(AH \bot \left( {SBC} \right)\).

- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng và hình chiếu của nó trên mặt phẳng.

- Sử dụng tính chất tam giác vuông cân tính chiều cao của hình chóp.

- Tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).

Giải chi tiết

Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\), trong \(\left( {SAM} \right)\) kẻ \(AH \bot SM\,\,\left( {H \in SM} \right)\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AM\\BC \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAM} \right) \Rightarrow BC \bot AH\\\left\{ \begin{array}{l}AH \bot BC\,\,\left( {cmt} \right)\\AH \bot SM\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot \left( {SBC} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow SH\) là hình chiếu vuông góc của \(SA\) lên \(\left( {SBC} \right)\)

\( \Rightarrow \angle \left( {SA;\left( {SBC} \right)} \right) = \angle \left( {SA;SH} \right) = \Leftrightarrow ASH = \angle ASM = {45^0}\) \( \Rightarrow \Delta SAM\) vuông cân tại \(A\).

Vì \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\) nên \(AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow SA = AM = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{8}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.