Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\;\,\,x

Câu hỏi số 473178:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x^2} - 1\;\;\;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\;\,\,x \ge 2}\\{{x^2} - 2x + 3\;\,\,khi\;\,\,x < 2}\end{array}} \right..\) Tích phân \(x = \mathop \smallint \limits_0^{\frac{\pi }{2}} f\left( {2\sin x + 1} \right)\cos xdx\) bằng:

A. \(\dfrac{{23}}{3}\)

B. \(\dfrac{{23}}{6}\)

C. \(\dfrac{{17}}{6}\)

D. \(\dfrac{{17}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:473178

Phương pháp giải

- Đổi biến \(t = 2\sin x + 1\), đổi cận.

- Sử dụng tính chất tích phân: \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_a^c {f\left( x \right)dx} + \int\limits_c^b {f\left( x \right)dx} \).

- Trên mỗi khoảng lấy hàm \(f\left( x \right)\) tương ứng.

- Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản.

Giải chi tiết

Xét \(I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {2\sin x + 1} \right)\cos xdx} \).

Đặt \(t = 2\sin x + 1\) ta có \(dt = 2\cos xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\). Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}I = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} \\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_2^3 {f\left( x \right)dx} } \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\int\limits_1^2 {\left( {{x^2} - 2x + 3} \right)dx} + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 1} \right)dx} } \right)\\\,\,\,\, = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{7}{3} + \dfrac{{16}}{3}} \right) = \dfrac{{23}}{6}\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.