Cho đường tròn \(\left( O \right)\), đường kính \(AB\). Trên \(\left( O \right)\) lấy điểm \(C\) sao
Cho đường tròn \(\left( O \right)\), đường kính \(AB\). Trên \(\left( O \right)\) lấy điểm \(C\) sao cho \(AC < BC\). Trên đoạn thẳng \(OB\) lấy điểm \(I\) cố định (\(I\) khác \(O,B\)). Đường thẳng qua \(I\) vuông góc với \(AB\) cắt \(BC\) tại \(E\), cắt \(AC\) tại \(F\)
a) Chứng minh rằng tứ giác \(ACEI\) là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi \(M\) là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) với \(AB\) (\(M\) khác \(A\)). Chứng minh rằng tam giác \(EBM\) cân.
c) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên (O) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF chạy trên một đường thẳng cố định.
Quảng cáo
a) Chứng minh rằng tứ giác \(ACEI\) là tứ giác nội tiếp.
Vì \(\angle ACB\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên \(\angle ACB = {90^0} \Rightarrow \angle ACE = {90^0}\).
Xét tứ giác \(ACEI\) có: \(\angle ACE + \angle AIE = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).
\( \Rightarrow \) Tứ giác \(ACEI\) là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
b) Gọi \(M\) là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) với \(AB\) (\(M\) khác \(A\)). Chứng minh rằng tam giác \(EBM\) cân.
Vì tứ giác \(AMEF\) là tứ giác nội tiếp (các điểm \(A,\,\,M,\,\,E,\,\,F\) cùng thuộc đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AEF\)) nên \(\angle EMI = \angle AFE = \angle AFI\,\,\left( 1 \right)\) (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp).
Ta lại có:
\(\angle AFI + \angle FAI = {90^0}\) (do tam giác \(AFI\) vuông tại \(I\)).
\(\angle ABC + \angle CAB = {90^0} \Rightarrow \angle ABC + \angle FAI = {90^0}\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(C\)).
\( \Rightarrow \angle AFI = \angle ABC\) (cùng phụ với \(\angle FAI\)).
\( \Rightarrow \angle AFI = \angle EBI\,\,\,\left( 2 \right)\).
Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \angle EMI = \angle EBI\,\,\left( { = \angle AFI} \right)\).
\( \Rightarrow \Delta EBM\) cân tại \(E\) (định nghĩa) (đpcm).
c) Chứng minh rằng khi C di chuyển trên (O) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF chạy trên một đường thẳng cố định.
Ta có: \(\Delta EBM\) cân tại \(E\) (cmt), mà \(EI \bot BM\) nên \(I\) là trung điểm của \(BM\) (đường cao đồng thời là trung tuyến) \( \Rightarrow M\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(I\) và \(IB = IM\).
Mà \(I,\,\,A,\,\,B\) cố định \( \Rightarrow IB\) không đổi \( \Rightarrow IM\) không đổi.
Lại có \(I\) cố định \( \Rightarrow M\) cố định.
Đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) đi qua điểm \(M\), nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) thuộc đường trung trực của \(AM\).
Vì \(A,\,\,M\) cố định nên trung trực của \(AM\) là cố định.
Vậy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(AEF\) thuộc trung trực của \(AM\) cố định, với \(M\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(I\).
PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
