Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(4\left( {z - \overline z } \right)

Câu hỏi số 474994:

Vận dụng cao

Cho số phức \(z = a + bi\,\,\left( {a,b \in \mathbb{R}} \right)\) thỏa mãn \(4\left( {z - \overline z } \right) - 15i = i{\left( {z + \overline z - 1} \right)^2}\) và môđun của số phức \(z - \dfrac{1}{2} + 3i\) đạt giá trị nhỏ nhất. Khi đó giá trị \(\dfrac{a}{4} + b\) bằng

A. 3

B. 4

C. 1

D. 2

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474994

Phương pháp giải

- Thay \(z = a + bi\) vào biểu thức \(4\left( {z - \overline z } \right) - 15i = i{\left( {z + \overline z - 1} \right)^2}\), từ đó tìm mối liên hệ giữa \(a,\,\,b\) và tìm điều kiện của \(b\).

- Tính \(\left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right|\) theo \(b\).

- Sử dụng phương pháp hàm số để tìm GTNN của biểu thức.

Giải chi tiết

Ta có: \(z = a + bi \Rightarrow \overline z = a - bi\).

Khi đó:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,4\left( {z - \overline z } \right) - 15i = i{\left( {z + \overline z - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 4\left( {a + bi - a + bi} \right) - 15i = i{\left( {a + bi + a - bi - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow 8b - 15 = {\left( {2a - 1} \right)^2}\end{array}\)

Do \({\left( {2a - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\forall a\) nên \(8b - 15 \ge 0 \Leftrightarrow b \ge \dfrac{{15}}{8}\).

Ta có

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right| = \left| {\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right) + \left( {b + 3} \right)i} \right|\\ = \sqrt {{{\left( {a - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {b + 3} \right)}^2}} \\ = \dfrac{1}{2}\sqrt {{{\left( {2a - 1} \right)}^2} + {{\left( {2b + 6} \right)}^2}} \\ = \dfrac{1}{2}\sqrt {8a - 15 + {{\left( {2b + 6} \right)}^2}} \\ = \dfrac{1}{2}\sqrt {4{b^2} + 32b + 21} \,\,\,\left( {b \ge \dfrac{{15}}{8}} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^2} + 32x + 21\) với \(x \ge \dfrac{{15}}{8}\) ta có \(f'\left( x \right) = 8x + 32 > 0,\forall x \ge \dfrac{{15}}{8}\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( x \right)\) là hàm đồng biến trên \(\left[ {\dfrac{{15}}{8}; + \infty } \right)\), do đó \(f\left( x \right) \ge f\left( {\dfrac{{15}}{8}} \right) = \dfrac{{1521}}{{16}}\).

Khi đó \(\min \left| {z - \dfrac{1}{2} + 3i} \right| = \dfrac{1}{2}\sqrt {\dfrac{{1521}}{{16}}} = \dfrac{{39}}{8}\) \( \Leftrightarrow b = \dfrac{{15}}{8} \Rightarrow a = \dfrac{1}{2}\).

Vậykhi môđun của số phức \(z - \dfrac{1}{2} + 3i\) đạt giá trị nhỏ nhất thì \(\dfrac{a}{4} + b = \dfrac{1}{8} + \dfrac{{15}}{8} = 2\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.