Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - 4z = 0\), đường thẳng \(d:\dfrac{{x

Câu hỏi số 474993:

Vận dụng cao

Trong không gian \(Oxyz\), cho mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x + y - 4z = 0\), đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y + 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 3}}{1}\) và điểm \(A\left( {1;3;1} \right)\) thuộc mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(A\), nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) và cách đường thẳng \(d\) một khoảng lớn nhất. Gọi \(\overrightarrow u = \left( {a;b;1} \right)\) là một vecto chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \). Giá trị của \(a + 2b\) là:

A. 4

B. 0

C. \( - 3\)

D. 7

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:474993

Giải chi tiết

Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(M\left( {1; - 1;3} \right)\) và có 1 vecto chỉ phương \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Ta thấy \(A \notin d\). Gọi \(I = d \cap \left( P \right)\), khi đó tọa độ điểm \(I\) là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 3 + t\\x + y - 4z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 3 + t\\1 + 2t - 1 - t - 12 - 4t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = - 4\\x = - 7\\y = 3\\z = - 1\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I\left( { - 7;3; - 1} \right)\).

Gọi \(\left( Q \right)\) là mặt phẳng chứa \(d\) và song song với \(\Delta \).

Khi đó ta có: \(d\left( {\Delta ;d} \right) = d\left( {\Delta ;\left( Q \right)} \right) = d\left( {A;\left( Q \right)} \right)\).

Gọi \(H,\,\,K\) lần lượt là hình chiếu của A lên \(\left( Q \right),\,\,d\) ta có \(AH \le AK\).

Do đó \(d{\left( {\Delta ;d} \right)_{\max }} = AK\) khi \(H \equiv K\) hay \(AK\) là đoạn vuông góc chung của \(d\) và \(\Delta \).

Gọi mặt phẳng \(\left( R \right)\) chứa \(A\) và \(d\). Khi đó \(mp\left( R \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {{n_R}} = \left[ {\overrightarrow {AM} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( { - 2;4;8} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AK \subset \left( R \right)\\AK \bot \left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( R \right) \bot \left( Q \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{n_Q}} \) là 1 VTPT của \(\left( Q \right)\) ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{n_Q}} \bot \overrightarrow {{n_R}} \\\overrightarrow {{n_Q}} \bot \overrightarrow {{u_1}} \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_Q}} = \left[ {\overrightarrow {{n_R}} ;\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( {12;18; - 6} \right)\).

Gọi \(\overrightarrow {{u_\Delta }} \) là 1 VTCP của đường thẳng \(\Delta \). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta \subset \left( P \right)\\\Delta //\left( Q \right)\end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{u_\Delta }} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} ;\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( {66; - 42;6} \right)//\left( {11; - 7;1} \right)\).

\( \Rightarrow a = 11;\,\,b = - 7\).

Vậy \(a + 2b = 11 + 2.\left( { - 7} \right) = - 3\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.