Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left(

Câu hỏi số 475319:

Vận dụng

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 4\) và \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = 2\). Tính tích phân \(I = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \).

A. \(I = 2\)

B. \(I = 6\)

C. \(I = 10\)

D. \(I = 4\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:475319

Phương pháp giải

Đối với tích phân \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 4\) đổi biến \(t = \sqrt x \), đối với tích phân \(\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = 2\) đổi biến \(t = \sin x\)

Giải chi tiết

Xét \(\int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 4\).

Đặt \(t = \sqrt x \Rightarrow dt = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}dx \Rightarrow \dfrac{{dx}}{{\sqrt x }} = 2dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 9 \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^9 {\dfrac{{f\left( {\sqrt x } \right)}}{{\sqrt x }}dx} = 4\\ \Leftrightarrow 2\int\limits_1^3 {f\left( t \right)dt} = 4 \Leftrightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2\end{array}\).

Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = 2\).

Đặt \(t = \sin x \Rightarrow dt = \cos xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 1\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {\sin x} \right)\cos xdx} = 2\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( t \right)dt} = 2 \Leftrightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\end{array}\).

Vậy \(\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = 2 + 2 = 4\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.