Biết \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 5\) và \(\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} = 20\). Tính

Câu hỏi số 475320:

Vận dụng

Biết \(\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = 5\) và \(\int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} = 20\). Tính \(\int\limits_1^2 {f\left( {4x - 3} \right)dx} - \int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^{2x}}} \right){e^{2x}}dx} \).

A. \(I = \dfrac{{15}}{4}\)

B. \(I = 15\)

C. \(I = \dfrac{5}{2}\)

D. \(I = 25\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:475320

Phương pháp giải

Đối với tích phân \(\int\limits_1^2 {f\left( {4x - 3} \right)dx} \) đổi biến \(t = 4x - 3\), đối với tích phân \(\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^{2x}}} \right){e^{2x}}dx} \) đổi biến \(t = {e^{2x}}\).

Giải chi tiết

Xét \(\int\limits_1^2 {f\left( {4x - 3} \right)dx} \).

Đặt \(t = 4x - 3 \Rightarrow dt = 4dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 1\\x = 2 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( {4x - 3} \right)dx} = \dfrac{1}{4}\int\limits_1^5 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{4}\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} \).

Ta có: \(\int\limits_1^5 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_4^5 {f\left( x \right)dx} = 5 + 20 = 25\).

\( \Rightarrow \int\limits_1^2 {f\left( {4x - 3} \right)dx} = \dfrac{1}{4}.25 = \dfrac{{25}}{4}\).

Xét \(\int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^{2x}}} \right){e^{2x}}dx} \).

Đặt \(t = {e^{2x}} \Rightarrow dt = 2{e^{2x}}dx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \ln 2 \Rightarrow t = 4\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow \int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^{2x}}} \right){e^{2x}}dx} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^4 {f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{2}\int\limits_1^4 {f\left( x \right)dx} = \dfrac{5}{2}\).

Vậy \(\int\limits_1^2 {f\left( {4x - 3} \right)dx} - \int\limits_0^{\ln 2} {f\left( {{e^{2x}}} \right){e^{2x}}dx} = \dfrac{{25}}{4} - \dfrac{5}{2} = \dfrac{{15}}{4}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.