Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\left\{

Câu hỏi số 475321:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\). Biết \(\left\{ \begin{array}{l}\int\limits_1^{{e^6}} {\dfrac{{f\left( {\ln \sqrt x } \right)}}{x}dx} = 6\\\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {{{\cos }^2}x} \right)\sin 2xdx} = 2\end{array} \right.\), giá trị \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]dx} \) bằng:

A. \(10\)

B. \(16\)

C. \(9\)

D. \(5\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:475321

Phương pháp giải

Đối với tích phân \(\int\limits_1^{{e^6}} {\dfrac{{f\left( {\ln \sqrt x } \right)}}{x}dx} \) đổi biến \(t = \ln \sqrt x \), đối với tích phân \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {{{\cos }^2}x} \right)\sin 2xdx} \) đổi biến \(t = {\cos ^2}x\)

Giải chi tiết

Xét \(\int\limits_1^{{e^6}} {\dfrac{{f\left( {\ln \sqrt x } \right)}}{x}dx} \).

Đặt \(t = \ln \sqrt x \Rightarrow dt = \dfrac{{\dfrac{1}{{2\sqrt x }}}}{{\sqrt x }}dx = \dfrac{1}{{2x}}dx \Rightarrow \dfrac{{dx}}{x} = 2dt\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = {e^6} \Rightarrow t = 3\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^{{e^6}} {\dfrac{{f\left( {\ln \sqrt x } \right)}}{x}dx} = 2\int\limits_0^3 {f\left( t \right)dt} = 2\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow 2\int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 6 \Leftrightarrow \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} = 3\end{array}\).

Xét \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {f\left( {{{\cos }^2}x} \right)\sin 2xdx} \).

Đặt \(t = {\cos ^2}x \Rightarrow dt = - 2\cos x\sin xdx = - \sin 2xdx\).

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 1\\x = \dfrac{\pi }{2} \Rightarrow t = 0\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {f\left( {{{\cos }^2}x} \right)\sin 2xdx} = - \int\limits_1^0 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \\ \Rightarrow \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_0^3 {f\left( x \right)dx} - \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} = 3 - 2 = 1\).

Vậy \(\int\limits_1^3 {\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]dx} = \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_1^3 {2dx} = 1 + 2.\left( {3 - 1} \right) = 5\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.