Cho \(\alpha \) là góc nhọn. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có giá trị không phụ thuộc

Câu hỏi số 476411:

Vận dụng

Cho \(\alpha \) là góc nhọn. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào có giá trị không phụ thuộc vào giá trị của góc \(\alpha \)?

A. \(Q = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha \)\( - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + 4\)

B. \(P = {\cos ^2}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha + 3\)

C. \(M = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2}\)\( - {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2}\)

D. \(N = {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha \)\( + 2{\cos ^2}\alpha + 1\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476411

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức lượng giác để biến đổi biểu thức \(M,\,\,N,\,\,P,\,\,Q\).

Giải chi tiết

+) Xét đáp án A

\(\begin{array}{l}Q = {\sin ^4}\alpha + {\cos ^4}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + 4\\\,\,\,\,\, = {\left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)^2} - 4{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + 4\\\,\,\,\,\, = 1 - 4{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha + 4\\\,\,\,\,\, = 5 - 4{\sin ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \\\,\,\,\,\, = 5 - {\sin ^2}2\alpha \\ \Rightarrow Q = 5 - {\sin ^2}2\alpha \end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị của biểu thức \(Q\) phụ thuộc vào giá trị của \(\alpha \).

+) Xét đáp án B

\(\begin{array}{l}P = {\cos ^2}\alpha - 2{\sin ^2}\alpha + 3\\\,\,\,\,\, = {\cos ^2}\alpha - 2\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right) + 3\\\,\,\,\,\, = {\cos ^2}\alpha - 2 + 2{\cos ^2}\alpha + 3\\\,\,\,\,\, = 3{\cos ^2}\alpha + 1\\ \Rightarrow P = 3{\cos ^2}\alpha + 1\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị của biểu thức \(P\) phụ thuộc vào giá trị của \(\alpha \).

+) Xét đáp án C

\(\begin{array}{l}M = {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} - {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\, = \left[ {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) - \left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)} \right]\left[ {\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right) + \left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)} \right]\\\,\,\,\,\,\,\, = \left( {\sin \alpha + \cos \alpha - \sin \alpha + \cos \alpha } \right)\left( {\sin \alpha + \cos \alpha + \sin \alpha - \cos \alpha } \right)\\\,\,\,\,\,\,\, = 2\cos \alpha .2\sin \alpha \\\,\,\,\,\,\,\, = 2.2\sin \alpha \cos \alpha \\\,\,\,\,\,\,\, = 2\sin 2\alpha \\ \Rightarrow M = 2\sin 2\alpha \end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị của biểu thức \(M\) phụ thuộc vào giá trị của \(\alpha \).

+) Xét đáp án D

\(\begin{array}{l}N = {\sin ^4}\alpha - {\cos ^4}\alpha + 2{\cos ^2}\alpha + 1\\\,\,\,\,\,\, = \left( {{{\sin }^4}\alpha - {{\cos }^4}\alpha } \right) + 2{\cos ^2}\alpha + 1\\\,\,\,\,\,\, = \left( {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha - {{\cos }^2}\alpha } \right) + 2{\cos ^2}\alpha + 1\\\,\,\,\,\,\, = {\sin ^2}\alpha - {\cos ^2}\alpha + 2{\cos ^2}\alpha + 1\\\,\,\,\,\,\, = {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha + 1\\\,\,\,\,\,\, = 1 + 1\\\,\,\,\,\,\, = 2\\ \Rightarrow N = 2\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Giá trị của biểu thức \(N\) không phụ thuộc vào giá trị của \(\alpha \).

Đáp án cần chọn là: D

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10