Cho \(\tan \alpha = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\sin \alpha - \cos \alpha

Câu hỏi số 476412:

Vận dụng

Cho \(\tan \alpha = \sqrt 2 \). Tính giá trị của biểu thức \(B = \dfrac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }}\)

A. \(B = \dfrac{{2\sqrt[{}]{3} - 2}}{{8\sqrt 3 + 3}}\)

B. \(B = \dfrac{{3\sqrt[{}]{3} - 3}}{{8\sqrt 3 + 3}}\)

C. \(B = \dfrac{{3\sqrt[{}]{2} - 3}}{{8\sqrt 2 + 3}}\)

D. \(B = \dfrac{{2\sqrt[{}]{2} - 2}}{{4\sqrt 2 + 2}}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:476412

Phương pháp giải

Áp dụng các công thức lượng giác: \(\tan \alpha = \dfrac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }};\)\(\,\,\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} = 1 + {\tan ^2}\alpha \)

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{\sin \alpha - \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }} = \dfrac{{\dfrac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} - \dfrac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\dfrac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 3\dfrac{{{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + 2\dfrac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}\,\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\tan \alpha \cdot \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \cdot \dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\dfrac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\left( {\tan \alpha - 1} \right)}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\left( {1 + {{\tan }^2}\alpha } \right)\left( {\tan \alpha - 1} \right)}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha + 2{{\tan }^3}\alpha }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\tan }^3}\alpha - {{\tan }^2}\alpha + \tan \alpha - 1}}{{3{{\tan }^3}\alpha + 2\tan \alpha + 3}}\end{array}\)

Mà theo đề bài : \(\tan \alpha = \sqrt 2 \)\( \Rightarrow B = \dfrac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + \sqrt 2 - 1}}{{3.{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3} + 2.\sqrt 2 + 3}}\)\( = \dfrac{{2\sqrt 2 - 2 + \sqrt 2 - 1}}{{6\sqrt 2 + 2\sqrt 2 + 3}}\)\( = \dfrac{{3\sqrt 2 - 3}}{{8\sqrt 2 + 3}}\)

Vậy \(B = \dfrac{{3\sqrt[{}]{2} - 3}}{{8\sqrt 2 + 3}}\).

Đáp án cần chọn là: C

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, (Xem ngay) Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, làm quen kiến thức, định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 10