Cho \(\Delta ABC\) cân tại A có AM là đường trung tuyến.a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta AMC\).b) Trên

Câu hỏi số 478551:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A có AM là đường trung tuyến.

a) Chứng minh \(\Delta AMB = \Delta AMC\).

b) Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD. Chứng minh BC là tia phân giác của \(\widehat {ABD}\).

c) Lấy điểm E trên đoạn thẳng MC sao cho EC = 2EM, gọi I là trung điểm DC. Chứng minh 2EI < AB + CE.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478551

Phương pháp giải

+ Sử dụng các cách chứng minh hai tam giác bằng nhau.

+ Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân.

+ Tính chất trọng tâm, đường trung tuyến trong tam giác.

Giải chi tiết

a) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow AB = AC\).

Vì \(AM\) là trung tuyến nên \(BM = MC\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) có \(AM\) là trung tuyến nên \(AM\) cũng là đường cao \( \Rightarrow AM \bot BC\).

Xét \(\Delta AMB\)và\(\Delta AMC\)có:

+ \(AM\)chung

+ \(AB = AC\)(cmt)

+ \(BM = MC\) (cmt)

\( \Rightarrow \Delta AMB = \)\(\Delta AMC\) (c.c.c) (đpcm)

b) Xét \(\Delta BAM\) và \(\Delta BDM\)có:

+ \(\widehat {BMA} = \widehat {BMC} = 90^\circ \left( {AM \bot BC} \right)\)

+ BM chung

+ AM = MD

\( \Rightarrow \Delta BAM = \Delta BDM(c.g.c)\)

\( \Rightarrow \widehat {ABM} = \widehat {DBM}\) (2 góc tương ứng)

\( \Rightarrow BC\) là tia phân giác \(\widehat {ABD}\). (đpcm)

c) Xét \(\Delta ACD\) có CM là đường trung tuyến, điểm E thuộc CM thỏa mãn \(\frac{{CE}}{{CM}} = \frac{2}{3}\)\( \Rightarrow E\) là trọng tâm \(\Delta ACD\)

\( \Rightarrow AE\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ACD\)

Lại có I là trung điểm DC \( \Rightarrow \)A, E, I thẳng hàng và \(AE = 2EI\).

Xét \(\Delta AEC\), áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: \(AE < AC + EC\)

Mà \(AC = AB\)\( \Rightarrow 2EI = AE < AB + EC\)(đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K12 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 7 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 7 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link