Cho \(F\left( x \right) = {x^\pi }\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{\pi ^x}\). Tìm họ

Câu hỏi số 478596:

Vận dụng

Cho \(F\left( x \right) = {x^\pi }\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{\pi ^x}\). Tìm họ nguyên hàm của hàm số \(f'\left( x \right).{\pi ^x}\).

A. \(\int {f'\left( x \right){\pi ^x}dx} = - {x^\pi } + {x^{\pi - 1}} + C\)

B. \(\int {f'\left( x \right){\pi ^x}dx} = - {x^\pi }\ln \pi + \pi {x^{\pi - 1}} + C\)

C. \(\int {f'\left( x \right){\pi ^x}dx} = {x^\pi }\ln \pi - \pi {x^{\pi - 1}} + C\)

D. \(\int {f'\left( x \right){\pi ^x}dx} = - {x^\pi } + \pi {x^{\pi - 1}} + C\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:478596

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp tích phân từng phần, đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\pi ^x}\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right.\).

Giải chi tiết

Đặt \(I = \int {f'\left( x \right).{\pi ^x}dx} \).

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}u = {\pi ^x}\\dv = f'\left( x \right)dx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = {\pi ^x}\ln \pi \\v = f\left( x \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow I = {\pi ^x}f\left( x \right) - \ln \pi \int {{\pi ^x}f\left( x \right)dx} \).

Vì \(F\left( x \right) = {x^\pi }\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right).{\pi ^x}\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F'\left( x \right) = f\left( x \right){\pi ^x}\\\int {f\left( x \right){\pi ^x}dx} = F\left( x \right) + C = {x^\pi } + C\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \pi .{x^{\pi - 1}} = f\left( x \right).{\pi ^x} \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{{\pi .{x^{\pi - 1}}}}{{{\pi ^x}}}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow I = {\pi ^x}\dfrac{{\pi .{x^{\pi - 1}}}}{{{\pi ^x}}} - {x^\pi }\ln \pi + C\\ \Rightarrow I = \pi .{x^{\pi - 1}} - {x^\pi }\ln \pi + C\end{array}\)

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.